《圆相关基础知识》汇总整理 |
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一、圆相关基本概念 (1)圆的定义:到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形。 圆内:点到圆心的距离小于半径 圆上:点到圆心的距离等于半径。 圆外:点到圆心的距离大于半径。 圆心相同,半径不同的两圆叫做同心圆。 圆心相同,半径相同的两圆叫做同圆。 圆心不同,半径相同的两圆叫做等圆。 (2)圆的弦与弧 ①弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 圆心到弦的距离,叫做弦心距,如图中线段OD。 ②弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧。 在一个圆中,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧。 ③无特殊说明的情况下, 表示以A、B为端点的劣弧,而优弧则用 表示。在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧。
(3)圆心角与圆周角 ①圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,如上图中∠AOB。 ②圆周角:顶点在圆上,且角两边都与圆相交的角叫圆周角,如上图中∠ACB。
(4)圆的对称性 ①圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的线。也是中心对称图形,对称中心为圆。 将圆绕圆心旋转任意度数后都与原图形重合,所以圆具有任意角度的旋转对称性。 ③在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,其余各组量也分别相等。
二、垂径定理: ①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 总结:垂径定理中的六个元素:过圆心、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧,平分圆心角,知二证四。 三、圆周角定理及其推论 圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。 圆周角定理的推论: ①在同圆或等圆中,等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。 ②圆周角的角平分线平分所对的弧。 ③圆内接四边形的对角互补。 ④直径所对的圆周角等于90°,90°的圆周角所对的弦是直径。 注意:当圆周角是一个钝角时,它所对应的圆心角是一个优角。(大于180°小于360°的角叫做优角,大于0°小于180°的角统称劣角) 四、直线与圆的位置关系 相交:圆心到直线的距离小于半径,圆与直线有两个公共点。 相切:圆心到直线的距离等于半径,圆与直线有一个公共点。 相离:圆心到直线的距离大于半径,圆与直线没有公共点。
五、圆的切线 切线定理:圆的切线与过切点的半径垂直。 推论①:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推理②:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定: ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 ②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点,并且垂直于半径的直线是圆的切线。 六、切线长和切线长定理 过圆外一点可以向圆作两条切线,该点和切点之间的线段的长度叫做切线长,并且两条切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
七、弦切角定理 ①弦切角的定义:顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交的角叫弦切角。 ②弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 如图,CD与圆O相切于点P,则∠BPD=∠A,∠APC=∠B。
八、圆与圆的位置关系 ①内含:一个圆完全在另外一个圆内部,且没有公共点。 ②内切:一个圆在另外一个圆内部且有一个公共切点。 ③相交:一个圆与另外一个圆有两个公共点。 ④外切:一个圆在另外一个圆外部且有一个公共切点。 ⑤外离:一个圆完全在另外一个圆外部,且没有公共点。 设、的半径分别为、,且,圆心的距离为。请分别写出在以下五种情况下写出与、的关系。 九、两圆的公切线 ①如果两圆内切,那么它们有一条外公切线,切点与两圆圆心在一条直线上。 ②如果两圆相交,那么它们有两条外公切线,且两条外公切线长度相等。 ③如果两圆相切,那么它们有两条外公切线和一条内公切线,两条外公切线长度相等,内公 切线垂直于两圆的圆心连线。 ④如果两圆外离,那么它们有两条外公切线和两条内公切线,两条外公切线长度相等,两条 内公切线长度也相等,且两条内公切线的交点在两圆的圆心连线上。 十、公切线的长度 设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,且R>r,圆心之间的距离为d。你能根据下图提示给出外公切线和内公切线长的公式吗? 十一、圆幂定理(是以下三条定理的总称) (1)相交弦定理:圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。如作图,弦AB与弦CD交于点P,则:PA·PB=PC·PD。
(2)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如中图,PC与圆相切于点C,割线PA与圆交于点A、B,则:PA·PB=PC²。
(3)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆两交点的两条线段长的乘积相等。如右图,割线PC与圆交于点C、D,割线PA与圆交于点A、B,则:PA·PB=PC·PD
十二、四点共圆的判断方法: (1)到一点距离相等的四个点共圆。 (2)同斜边的直角三角形的顶点共圆。 (3)同底且同侧顶角相等的两个三角形的顶点共圆。 (4)对角互补的四边形四点共圆。 (5)若四边形ABCD的对角线交于点P,且PA·PC=PB·PD,则ABCD四点共圆。 (6)四边形ABCD一组对边AB、DC的延长线交于点P且PA·PB=PC·PD,则ABCD四点共圆。 |
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