可以从两个方面证明该定理，第一种，借助相似矩阵拥有相同特征值的结论进行（要求 A , B A,B A,B 是可逆的）；第二种，则从公式 A B x = λ x ABx=\lambda x ABx=λx 着手。

先讲第一种。假设 A , B A,B A,B 是可逆的。我们知道矩阵 A A A 相似于矩阵 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP，其中 P P P 为任意的可逆矩阵。所以也存在任意一个可逆矩阵 M M M 使得 A B AB AB 相似于 M − 1 A B M M^{-1}ABM M−1ABM，当我们令 M = A M=A M=A 时有 M − 1 A B M = B A M^{-1}ABM=BA M−1ABM=BA，即 A B AB AB 相似于 B A BA BA，进而得证 A B AB AB 与 B A BA BA 具有相同的特征值，而且此时的特征值均不为零。

第二种，记 A , B A, B A,B 分别为 m × n m \times n m×n 和 n × m n \times m n×m 的矩阵，这里不要求 A , B A, B A,B 均是方阵(即不要求 m = n m = n m=n)， 从而 A , B A, B A,B 也不需要是可逆的 。给定 A B AB AB 的特征值和特征向量 λ , x \lambda,x λ,x，使得 A B x = λ x ABx=\lambda x ABx=λx，式子两端左乘一个 B B B，得： B A B x = λ B x (1) BABx = \lambda Bx \tag{1} BABx=λBx(1) 当 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ​=0 时，根据式 ( 1 ) (1) (1)，可知 λ \lambda λ 也是 B A BA BA 的特征值，这时 B A BA BA 的特征向量是 B x Bx Bx，即 A B AB AB 与 B A BA BA 具有相同的非零特征值 λ \lambda λ.

综上，得证矩阵 A B AB AB 与 B A BA BA 具有相同的非零特征值。