|
在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
的矩阵P以及
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
的矩阵Q，使得
A
=
Q
B
P
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {QBP} }
这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得
A
=
P
B
P
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1}}
由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，
A
=
P
B
Q
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {PBQ} }
中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。
|