线性代数的学习和整理23：用EXCEL和python 计算向量/矩阵的：内积/点积，外积/叉积

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线性代数的学习和整理23：用EXCEL和python 计算向量/矩阵的：内积/点积，外积/叉积

2024-07-14 13:16| 来源: 网络整理| 查看: 265

1 乘法

1.1 标量乘法(中小学乘法)

1.1.1 乘法的定义

1.1.2 乘法符合的规律

1.2 向量乘法

1.2.1 向量：有方向和大小的对象

1.2.2 向量的标量乘法

1.2.3 常见的向量乘法及结果

1.2.4 向量的其他乘法及结果

1.2.5 向量的模长（长度）

模长的计算公式

1.2.6 距离

2 向量的各种乘法

2.1 向量的标量乘法（即：向量乘1个常数）

2.2 通用的向量/矩阵乘法 (Matrix Multiply)

2.3 向量的内积(数量积) inner product

2.3.1 内积的定义（适合N维空间中）

2.3.2 内积的计算公式：

2.3.3 内积乘法符合的规律

2.3.4 内积的几何意义

2.4 向量的点积 (标准内积/欧几里得内积) Dot product

（二维空间，勉强三维空间）

2.4.1 内积和点积的区别: 点积是欧几里得内积，是内积的特例

2.4.2 内积和外积的几何意义的区别

2.4.3 点积除了二维空间，还可以三维空间应用吗？

2.4.4 点乘和点积的定义

2.4.5 点积符合的规律

2.4.6 点积的几何意义

内积的公式可以理解为往另外一个向量的投影

EXCEL里cos(θ) 的计算

cos曲线

最大值，最小值和90度正交

2.4.7 向量点积的分界线

2.4.8 点积的应用

2.5 向量的外积 outer product

2.5.1 外积的定义

2.5.2 外积的公式

2.5.3 外积的几何意义

2.6 向量的叉积cross product （3维空间，勉强2维空间）

2.6.1 向量的叉积的定义

2.6.2 向量的叉积的适用范围

2.6.3 向量的叉积的公式

2.6.4 叉积符合的规律

2.6.5 向量的叉积的几何意义

2.7 向量的混合积

2.7.1 混合积

2.8 直积/笛卡尔乘积

2.8.1 直积的定义Cartesian product

2.8.3 笛卡尔乘积的公式

2.9 克罗内克积, Kronecker product

2.9.1 克罗内克积的定义

2.9.2 计算公式

2.10 哈达玛积 Hadamard product

2.10.1 哈达玛积定义

2.10.2 计算公式

2.11 张量积 tensor product)

2.11.1 张量积的定义

2.12 总结（很多深度知识不懂，暂时这么总结吧 - -！）

3 用EXCEL和python计算向量的点积和叉积

（以后看看有没必要加VBA的）

3.1 EXCEL里矩阵计算的相关公式

3.2 EXCEL如何计算2个向量的点积，叉积

3.2.1 EXCEL计算2个向量的点积的方法

编辑

3.2.2 用EXCEL计算两个向量叉积的方法

3.2.3 用EXCEL计算2个2维向量的点积和叉积

3.2.4 用EXCEL计算2维向量的点积和叉积

编辑

3.3 用python的 numpy 计算两个向量的内积

3.3.1 numpy相关的点乘和叉乘公式

3.3.2 numpy分别计算2维向量的点积和叉积

3.3.3 numpy分别计算3维向量的点积和叉积

4 用EXCEL和python计算向量组的点积和叉积

4.1 EXCEL里计算向量组的点积

4.1.1 EXCEL向量组的点积公式

4.1.2 EXCEL里向量组的叉积公式

4.1.3 下面是2维矩阵和3维矩阵的点积，叉积的计算

4.2 python里向量组/矩阵的乘法

4.2.1 关于2个2*2矩阵的点积和叉积

4.2.2 关于2个3*3矩阵的点乘和叉乘

5 点积和叉积的数学计算总结

5.1 点积计算

5.1.1 如果是向量的点积

5.1.2 如果是矩阵的点积

5.2 叉积计算

5.2.1 向量的的叉积计算

5.2.2 矩阵的叉积计算

5.3 向量的点积，叉积

5.4 矩阵的点积，叉积

1 乘法 1.1 标量乘法(中小学乘法) 1.1.1 乘法的定义乘法的定义 a*b= a个b之和a*b= a 的 b 倍2*3=3+3=6 $a*b=b+b+.....+b=\sum_{i=1 }^{a } b$

1.1.2 乘法符合的规律交换律：a*b= b*a分配律：c*(a+b) =c*a+c*b结合律：c*(a*b)= (c*a)*b

1.2 向量乘法 1.2.1 向量：有方向和大小的对象向量只有方向和大小没有具体的位置

1.2.2 向量的标量乘法如果一个标量和向量相乘标量*向量λ*A = λ* 向量A的每个元素

1.2.3 常见的向量乘法及结果向量的内积 inner product向量的点积 dot product向量的外积 outer product向量的叉积 cross product点积是降维叉积是升维

1.2.4 向量的其他乘法及结果克罗内克积, Kronecker product等等

1.2.5 向量的模长（长度）在二维平面上，一个向量的模长就是线段的长度。但是维度高了，就要用模长。向量的模长，也被称作向量的大小或者绝对值是用来描述向量的长度的数学概念。在高维空间中，虽然我们无法直观地看到向量，但是我们仍然可以通过计算来得到向量的模长。模长的计算公式对于一个n维向量v = (v1, v2, …, vn)其模长||v||可以通过以下公式计算：||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)所以，向量的模长实际上就是其各分量平方和的平方根。 1.2.6 距离

距离类型

欧氏距离曼哈顿距离等等

这里的距离，一般都是欧氏距离

欧氏距离distance(a,b)=sqrt((a-b)*(a-b))欧氏距离=坐标轴里每个分量相减平方和再开方distance(a,b)sqrt((Va1-Vb1)^2 + (Va2-Vb2)^2 + ... + (Van-Vbn)^2)

2 向量的各种乘法

2.1 向量的标量乘法（即：向量乘1个常数）向量的标量乘法λ是标量，数字，不是向量

公式

λ*A = λ* 向量A的每个元素λ*A= λ*[a11,a12 ... a1m] =[λ*a11,λ*a12 ... λ*a1m]

其中

矩阵的标量乘法 λ*A=λ*每个元素，*A*B=A*λ*B行列式的标量乘法，λ*|A|=λ*某1行/列

2.2 通用的向量/矩阵乘法 (Matrix Multiply) Standard matrix multiplication最一般的矩阵间乘法矩阵乘法 (Matrix Multiply)用于矩阵相乘，A，B均为矩阵，A的维度为m*p，B的维度为p*n，则A*B的结果为m*n的矩阵。矩阵乘法是通用的，所有向量，矩阵理论上都可以按此计算，但是有一个前提要求:必须满足：左边的矩阵A(n*p) 列数p= 右边矩阵B(p*m)的行数p

公式

矩阵乘法的公式 C=A*B是C的每个元素，cij=Σ a的第1行*b的第1列公式 2.3 向量的内积(数量积) inner product 2.3.1 内积的定义（适合N维空间中） inner product是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算名称：向量的数量积，向量的内积，矩阵的内积相关概念Inner product space

2.3.2 内积的计算公式：两个向量的分量相乘然后相加求和，结果是1个标量内积的要求：两个向量完全相同A(n)∙ B(n)两个向量组/矩阵完全相同A(m,n)∙ B(m,n)

公式

N维空间中 A(n)∙ B(n)=a1b1+a2b2+.....an*bn=Σaibi $A*B=a1b1+a2b2+.....an*bn=\sum_{i=1}^{n}aibi$

2.3.3 内积乘法符合的规律交换律：a∙b= b∙a分配律：k*(a+b) =k*a+k∙b结合律：c∙(a∙b)= (c∙a)∙b对称性：a∙b= b∙a正定性：对于任何非零向量a， a∙a>0

2.3.4 内积的几何意义内积和点积，都是用来衡量两个向量方向上的相似性的内积因为维度不只是二维三位，角度不好表示，所以只判断内积的正负内积=0，两个向量垂直正交内积大于0，两个向量的方向相似内积小于0，两个向量的方向相反

2.4 向量的点积 (标准内积/欧几里得内积) Dot product （二维空间，勉强三维空间） 2.4.1 内积和点积的区别: 点积是欧几里得内积，是内积的特例内积：N维空间都生效点积：多用于欧氏空间，主要用于二维的(所以被称为欧几里得内积)所以，点积是内积的一种特殊情况？其实我并不清楚，内积除了点积外还有哪些其他形式？我现在只能理解为，点积是内积在二维空间的表现形式

2.4.2 内积和外积的几何意义的区别 a·b=|a||b|·cosθ几何意义，向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积。内积是把a向量投影到b向量上面，让两者同向或者反向，让a向量箭头指向b向量相同，让两个向量共线，可以认为在向量里面，所以叫内积。因此，内积两个向量谁投影谁都可以，因为最后是一个标量，没有方向性。而外积是把a向量投影到b向量的法线方向，投影到向量的外部（最外部的方向就是法线/垂直/正交的方向），二者几何意义生成的新向量，就是这2个向量组成的法向量，所以叫外积。

外积就不一样了，一定是A投影B，因为要用右手确定结果向量的方向，有前后顺序之分。否则就是反方向，负交换律，A*B = - B*A

2.4.3 点积除了二维空间，还可以三维空间应用吗？点积在二维空间，a*b=|a||b|*cosθ点积在三维空间，a*b=|a||b|*cosθ我觉得三维空间也可以a,b 只是表示乘3维空间的坐标形式即可,比如a(a1*i,a2*j,a3*j) ,b(b1*i,b2*j,b3*j) 因为3维空间里也有2维空间，也可以算出cosθ

2.4.4 点乘和点积的定义

点乘：(Pointwise Multiply)

Pointwise Multiply点乘的结果就是点积

点积

点积, 也标准内积，欧几里得内积dot product

公式

用于矩阵相乘，A，B为维度大小完全相同的矩阵即A的行数=B的行数，A的列数=B的列数，实际计算的时候，点积=行向量*列向量在运算时，AB矩阵的对应位置的元素相乘。若AB均为mn的矩阵，则其点乘的结果仍为一个mn的矩阵。两个向量的分量相乘然后相加求和公式1：a*b=Σ(a1b1+a2b2+.....anbn)公式2：点积=行向量*列向量公式3：二维空间中，a*b=|a||b|*cosθ

2.4.5 点积符合的规律交换律：a∙b= b∙a分配律：k*(a+b) =k*a+k∙b结合律：c∙(a∙b)= (c∙a)∙b任何向量*0向量=0向量方向性 0-90度 ,点积>0 ,两个向量方向相同90 点积=0,向量垂直正交90-180 ,点积

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