考虑立方数的差异：

( k + 1 ) 3 − k 3 = 3 k 2 + 3 k + 1 (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 (k+1)3−k3=3k2+3k+1

这个等式可以通过简单地展开左边的表达式得到。

这个等式揭示了连续两个立方数之差可以表示为一个与平方数相关的表达式。当我们将这个观察应用于一系列连续的立方数时，就出现了一个有趣的模式：

我们将这个差分方法应用于 k = 1 , 2 , … , n k = 1, 2, \ldots, n k=1,2,…,n：

∑ k = 1 n [ ( k + 1 ) 3 − k 3 ] = ∑ k = 1 n ( 3 k 2 + 3 k + 1 ) \sum_{k=1}^{n} [(k+1)^3 - k^3] = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) k=1∑n​[(k+1)3−k3]=k=1∑n​(3k2+3k+1)

左边的求和会产生很多相互抵消的项，只留下 ( (n+1)^3 - 1 )。因此，我们有：

( n + 1 ) 3 − 1 = ∑ k = 1 n ( 3 k 2 + 3 k + 1 ) (n+1)^3 - 1 = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) (n+1)3−1=k=1∑n​(3k2+3k+1)

( n + 1 ) 3 − 1 = 3 ∑ k = 1 n k 2 + 3 ∑ k = 1 n k + n (n+1)^3 - 1 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + n (n+1)3−1=3k=1∑n​k2+3k=1∑n​k+n

现在，我们只需要解出 ∑ k = 1 n k 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 ∑k=1n​k2。

∑ k = 1 n k 2 = n ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) 6 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} k=1∑n​k2=6n(2n2+3n+1)​=6n(n+1)(2n+1)​

我们从考虑以下等式开始：

( k + 1 ) 4 − k 4 = 4 k 3 + 6 k 2 + 4 k + 1 (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 (k+1)4−k4=4k3+6k2+4k+1

这个等式可以通过简单地展开左边的表达式得到。接下来，我们对 k = 1 , 2 , … , n k = 1, 2, \ldots, n k=1,2,…,n 应用这个等式，并将所有这些等式相加。这给我们：

∑ k = 1 n [ ( k + 1 ) 4 − k 4 ] = ∑ k = 1 n [ 4 k 3 + 6 k 2 + 4 k + 1 ] \sum_{k=1}^{n} \left[ (k+1)^4 - k^4 \right] = \sum_{k=1}^{n} \left[ 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \right] k=1∑n​[(k+1)4−k4]=k=1∑n​[4k3+6k2+4k+1]

注意，左边的许多项会相互抵消，只留下 ( n + 1 ) 4 − 1 (n+1)^4 - 1 (n+1)4−1。因此，我们的等式变为：

( n + 1 ) 4 − 1 = 4 ∑ k = 1 n k 3 + 6 ∑ k = 1 n k 2 + 4 ∑ k = 1 n k + n (n+1)^4 - 1 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + n (n+1)4−1=4k=1∑n​k3+6k=1∑n​k2+4k=1∑n​k+n

我们知道：

将这些已知的和代入上面的等式，就可以解出 ∑ k = 1 n k 3 \sum_{k=1}^{n} k^3 ∑k=1n​k3

我们的目标是解出 ∑ k = 1 n k 3 \sum_{k=1}^{n} k^3 ∑k=1n​k3。将上述已知和代入并简化等式，我们得到：

n 4 + 4 n 3 + 6 n 2 + 4 n = 4 ∑ k = 1 n k 3 + n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 2 n ( n + 1 ) + n n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n n4+4n3+6n2+4n=4k=1∑n​k3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n

解得: ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 \sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 k=1∑n​k3=[2n(n+1)​]2

从小学到大学，因为计算失误导致的考试失分数不胜数

做这种计算主要有这些错误

比较可控的是前两个

对策是次数相同的竖着写到一起、列表

例如：计算 ( 2 x 3 − x + 4 ) ( 3 x 2 + 2 x − 1 ) (2x^3 - x + 4)(3x^2 + 2x - 1) (2x3−x+4)(3x2+2x−1)

使用表格法：这样肯定不会漏项

合并同类项：

简化结果： 6 x 5 + 4 x 4 − 5 x 3 + 10 x 2 + 9 x − 4 6x^5 + 4x^4 - 5x^3 + 10x^2 + 9x - 4 6x5+4x4−5x3+10x2+9x−4

例如：简化 4 x 4 + 3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 + 2 x 4 − x 3 + x 2 − 3 x + 4 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 + 2x^4 - x^3 + x^2 - 3x + 4 4x4+3x3−2x2+5x−1+2x4−x3+x2−3x+4

次数相同的竖着写到一起：

合并同类项：

简化结果：

∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = n n + 1 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = [ 1 2 n ( n + 1 ) ] 2 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ⋯ + n ( n + 1 ) = 1 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \begin{array}{|l|}\\\hline\sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \\\\\hline\sum_{k=1}^{n} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\\\\hline\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} \\\\\hline 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{1}{2} n(n+1)\right]^{2} \\\\\hline 1 \cdot 2+2 \cdot 3+\cdots+n(n+1)=\frac{1}{3} n(n+1)(n+2) \\\\\hline\\\end{array} ∑k=1n​k=1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​∑k=1n​k2=12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​∑k=1n​k(k+1)1​=1×21​+2×31​+3×41​+⋯+n(n+1)1​=n+1n​13+23+33+⋯+n3=[21​n(n+1)]21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=31​n(n+1)(n+2)​​