线性系统理论（七）finite

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线性系统理论（七）finite

2023-12-14 08:22| 来源: 网络整理| 查看: 265

1 参考[1][2][3][4]

Chenglin Li：线性系统理论（一）状态空间和运动分析

Chenglin Li：线性系统理论（二）能控性和能观性

Chenglin Li：线性系统理论（三）能控和能观标准型

Chenglin Li：线性系统理论（四）系统运动的稳定性

Chenglin Li：线性系统理论（五）线性反馈系统

Chenglin Li：线性系统理论（六）多项式矩阵理论

2 基本概念

2.1 真性-严真性

（1）G(s)严真，当且仅当矩阵各个元素的分母最高次幂 $degd_{ij}$ ，大于分子最高次幂 $degn_{ij}$ 。

$deg \ d_{ij}deg\ n_{ij}\\$

（2）G(s)真，至少存在一个元素

$deg\ n_{ij}=deg\ d_{ij}\\$

其余元素满足严真。

（3）G(s)为真

$\lim_{s \rightarrow \infty}{G(s)}=G_0, (G_0 \ne 0).\\$

（4）G(s)严真

$\lim_{s \rightarrow \infty}{G(s)}=0.\\$

2.2 Smith-McMillan多项式

$M(s)=U(s)G_{n\times n}(s)V(s)=diag \left(\frac{\epsilon_1(s)}{\phi_1(s)}, \frac{\epsilon_2(s)}{\phi_2(s)},..., \frac{\epsilon_n(s)}{\phi_n(s)} \right) =\left( \begin{matrix} \frac{\epsilon_1(s)}{\phi_1(s)} &0 &0 &...&0\\ 0&\frac{\epsilon_2(s)}{\phi_2(s)}&0 &...&0\\ .&.&.&.&.\\ 0&0&0&0&\frac{\epsilon_n(s)}{\phi_n(s)}\\ \end{matrix} \right)\\$

（1）M(s)的唯一性；

（2）单模变换矩阵U(s),V(s)的不唯一性；

（3）非保真属性；G(s)为真，M(s)不一定为真；

（4）非奇异G(s)属性；

（5）M(s)对角元素分子分母互质，除零次多项式外不再有其他的公因式。

（6）满足整除性（分子越来越大，分母越来越小）： $\phi_{i+1}(s)|\phi_i(s),\epsilon_i(s)|\epsilon_{i+1}(s),i=1,2,3...,r.\\$

（7）满足

$rankG(s)=rankM(s).\\$

2.3 矩阵分式描述（MFD,Matrix-Fraction Description）

$G_{m\times n}(s)=N_{m\times n}D^{-1}_{n\times n}(s)= D^{-1}_{L,m\times m}N_{L,m\times n}(s).\\\\$

D(s)矩阵对角矩阵的对角元素为G(s)各列多项式的最小公分母； D_L(s)

矩阵对角矩阵的对角元素为G(s)各行多项式的最小公分母；

2.4 多项式矩阵N(s)

d(s)为G(s)的所有元素有理分式的最小公分母，则

$G(s)=\frac{1}{d(s)}N(s).\\$

2.5 构造矩阵G(s)的Smith-McMillan 的步骤

step1. 确定G(s)有理分式的最小公分母d(s),分子多项式矩阵N(s);

step2. 取单模矩阵对U(s),V(s);（利用初等行列变换即可,U(s),V(s)不能出现分数形式）

step3. 化N(s)为Smith形式；

$\Lambda=U(s)N(s)V(s).\\$

step4. 上述等式两边乘以1/d(s)，导出

$M(s)=\frac{\Lambda(s)}{d(s)}=U(s)G(s)V(s).\\$

step5. 消去对角元素的公因子；

2.6 举例分析

$G(s)=\left( \begin{matrix} \frac{s}{(s+1)^2(s+2)^2} &\frac{s}{(s+2)^2}\\ -\frac{s}{(s+2)^2} &-\frac{s}{(s+2)^2}\\ \end{matrix} \right)\\$

step1. $d(s)=(s+1)^2(s+2)^2, N(s)=\left( \begin{matrix} s &s(s+1)^2\\ -s(s+1)^2 &-s(s+1)^2 \end{matrix} \right). \\$

step2. 取单模矩阵对U(s),V(s)，不唯一

$U(s)=\left( \begin{matrix} 1 &0\\ (s+1)^2 &1 \end{matrix} \right), V(s)=\left( \begin{matrix} 1 &-(s+1)^2\\ 0 &1 \end{matrix} \right), \Lambda(s)=\left( \begin{matrix} s &0\\ 0 &s^2(s+1)^2(s+2) \end{matrix} \right) .\\$

step3.标准Smith-McMillan形式

$M(s)=\left( \begin{matrix} \frac{s}{(s+2)^2(s+1)^2} &0\\ 0 &\frac{s^2(s+1)^2(s+2)}{(s+1)^2(s+2)^2} \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \frac{s}{(s+2)^2(s+1)^2} &0\\ 0 &\frac{s^2}{(s+2)} \end{matrix} \right).\\$

2.7 互质（互素）多项式

f(x),g(x)除零次多项式外不再有其他的公因式，则这两个多项式称为互素的。多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)除零次多项式外没有其他的公因式，则这s个多项式称为互素的，亦称互质的。互素的多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)不一定是两两互素的。最大公因数为非零常数（与s无关）。

2.8 整除性

整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，即a能被b整除（或说b能整除a）。记作：b|a，a是被除数，b是除数。

2.9 单模变换矩阵

称方形多项式矩阵Q(s)为单模矩阵，当且仅当其行列式det Q(s)=c。（c是独立于s的非零常数）单模矩阵必须为多项式的形式！

2.10 首一多项式

一元多项式中次数最高的项，称为首项，其系数称为该多项式的首项系数。首项系数为 1 的多项式称为首一多项式。

2.11 不变多项式

对 $q\times p$ 多项式矩阵Q(s)，其Smith型 $\Lambda(s)$ 中的元素 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...$ 为Q(s)的不变多项式。

由于多项式矩阵的Smith型唯一，因此Q(s)不变多项式的含义是指： $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...$ 与施加在Q(s)上的行列初等变换无关。

2.12 不变零invariant zeros

在系统矩阵的Smith形式 $\Lambda(s)$ 的对角元素 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...$ 多项式等于0的根。

$\lambda_i=0.\\$

稳定的不变零点：具有负实部的不变零点。

2.13 多项式矩阵的最大公因子gcd

（1）右公因子

$N(s)=N'(s)R(s),\\ D(s)=D'(s)R(s).\\$ R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子。

（2）左公因子

$B(s)=Q(s)B'(s),\\ A(s)=Q(s)A'(s).\\$

Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子。

2.14 互质性

（1）右互质

D(s)和N(s)列数相同，可以定义右公因子，若右公因子R(s)为单模矩阵，则称D(s),N(s)右互质。

$U(s)\left( \begin{matrix} D(s)\\ N(s)\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} R(s)\\ 0\\ \end{matrix} \right).\\$

右互质的充要条件： $rank\left( \begin{matrix} D_{p\times p}(s)\\ R_{q\times p}(s)\\ \end{matrix} \right)=p.\\$

（2）左互质

A(s)和B(s)列数相同，可以定义左公因子，若左公因子Q(s)为单模矩阵，则称A(s),B(s)左互质。

$\left( \begin{matrix} A(s)& B(s)\\ \end{matrix} \right)U'(s)= \left( \begin{matrix} Q(s)& 0\\ \end{matrix} \right) .\\$

左互质的充要条件： $rank\left( \begin{matrix} A_{q\times q}(s)& R_{q\times p}(s)\\ \end{matrix} \right)=q.\\$

2.15 多项式矩阵的rank

称 $m \times n$ 的多项式矩阵Q(s)的秩为 ,记作rankQ(s)=r。

那么至少存在一个 $r \times r$ 子式不恒为0，而所有的 $(r+1) \times (r+1)$ 的子式恒等于0。

3 多项式零点[5]finite-zero: invariant-zero or transmission-zero;零输入响应，由系统的极点（系统矩阵的特征根）决定。零状态响应，由系统的极点和零点决定。

3.1 invariant zeros of linear multivariabe system

考虑如下系统

$\left\{ \begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu\\ y&=Cx \end{aligned} \right.\\$

传递函数

$H(s):=C(sI_n-A)^{-1}B.\\$

Then the complex scalar is said to be an invariant zero of the system $\Sigma$ or H(s)

$rank \left[ \begin{matrix} zI_n-A &-B\\ C &0\\ \end{matrix} \right]n+normal \ rank \left\{ H(s) \right\}\\$

其中H(s)的正规秩normal rank 定义为H(s)在有理函数域上的秩。

3.2 infinite zeros of linear multivariabe system

4 传递函数矩阵的有限极点和有限零点(finite-zero)[6]

矩阵G(s)的Smith-McMillan形式 $M(s)=U(s)G_{n\times n}(s)V(s)=diag \left(\frac{\epsilon_1(s)}{\phi_1(s)}, \frac{\epsilon_2(s)}{\phi_2(s)},..., \frac{\epsilon_n(s)}{\phi_n(s)} \right) =\left( \begin{matrix} \frac{\epsilon_1(s)}{\phi_1(s)} &0 &0 &...&0\\ 0&\frac{\epsilon_2(s)}{\phi_2(s)}&0 &...&0\\ .&.&.&.&.\\ 0&0&0&0&\frac{\epsilon_n(s)}{\phi_n(s)}\\ \end{matrix} \right)\\$

4.1 定义

$rank[ G_{m\times n}(s)]=r.\\$

G(s)有限极点，M(s)矩阵中 $\phi_i(s)=0$ 的根， G(s)有限零点，M(s)矩阵中 $\epsilon_i(s)=0$ 的根，

4.2 等价结论

对于mxn严真传递函数G(s)，其外部等价的任一个状态空间描述为

$\left\{ A\in R^{q\times q},B\in R^{q\times n},C\in R^{m\times q} \right\}\\ G(s)=C*(sI-A)B.\\$ (A,B)能控，(A,C)能观，那么有

G(s)有限极点：det(sI-A)=0的根；G(s)有限零点，使得下列矩阵的秩下降的s值；

$rank\left( \begin{matrix} sI-A &B\\ -C &0 \end{matrix} \right)min\left\{ q+n,q+m\right\}\\$

4.3 举例

G(s)有限极点：s=-1(二重)，s=-2(三重)；G(s)有限零点：s=0(三重)；

5 传递函数矩阵的无穷极点和无穷零点infinite-zero

5.1 定义

无穷远处的极点反映系统的非真性；无穷远处的零点是研究MIMO系统根轨迹渐近行为的基础；

5.2 结论

确定 $s=\infty$ 处极点零点的思路：对于mxn的传递函数矩阵G(s)，对G(s)引入变换

$s=\lambda^{-1},G(s)=G(\lambda^{-1})\\$

进而化成以 $\lambda$ 为变量的有理分式矩阵 $H(\lambda)$ ,则有：

G(s)在 $s=\infty$ 极点/零点 $\Leftrightarrow$ $H(\lambda)$ 在 $\lambda=0$ 处的极点/零点。

5.3 举例分析

$G(s)=\left( \begin{matrix} \frac{s}{s-1}&0&0\\ 0&\frac{1}{s-1}&0\\ 0 &0&(s-1)^2 \end{matrix} \right), G(\lambda^{-1})=\left( \begin{matrix} \frac{\lambda^{-1}}{\lambda^{-1}-1}&0&0\\ 0&\frac{1}{\lambda^{-1}-1}&0\\ 0 &0&(\lambda^{-1}-1)^2 \end{matrix} \right).\\$

化成有理分式矩阵 $H(\lambda)=\left( \begin{matrix} -\frac{1}{\lambda-1}&0&0\\ 0&-\frac{\lambda}{\lambda-1}&0\\ 0 &0&\frac{(\lambda-1)^2}{\lambda^2} \end{matrix} \right),rankH(\lambda)=3.\\$

$d(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1), N(\lambda)= \left( \begin{matrix} -\lambda^2 & 0 & 0\\ 0 & -\lambda^3 & 0\\ 0 & 0 & (\lambda-1)^3 \end{matrix} \right).\\$

使用最大公因子法，计算出Smith型如下：

$\Lambda(\lambda)= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda^2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda^3(\lambda-1)^3 \end{matrix} \right).\\$

进一步化成Smith-McMillan形式如下：

$M(\lambda)=\frac{\Lambda(\lambda)}{d(\lambda)}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\lambda^2(\lambda-1)}&0&0\\ 0&\frac{1}{\lambda-1}&0\\ 0 &0&\lambda(\lambda-1)^2 \end{matrix} \right).\\$

因此：

G(s)在“s=∞”处极点重数=2；G(s)在“s=∞”处零点重数=1；

matlab 命令：[U,V,S] = smithForm(A)% 传递函数首先乘d(s)

——2020.07.15——

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