足球队排名问题的解决方法

摘 要

本文利用层次分析法和竞赛图法建立了不同的解决排名问题的数学模型。

在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。

在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。

这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名

关键字：层次分析法 图论法 可约性 一致性 稳定性

1.问题的背景及提出

在一些小型的足球比赛中，各队名次排列往往比较简单，因为其涉及的比赛团队较少，数据不复杂。而在一些大型比赛中影响因素很多，比如有的球队间没有直接的比赛，有的球队会超水平发挥或失误，主场优势等。基于这些因素的影响，人们往往会对比赛结果产生质疑。为了解除人们的疑惑，我们必须提出可以克服上述诸多不确定因素的影响，使得排名结果能准确的反映球队的真实实力。

2.问题分析

排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：

保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛。

稳定性:成绩表中微小的变动不会对排名造成巨大的影响，即球队发挥水平的较小波动性不会对排名结果产生大的影响。

能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的队不幸遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平。为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,避免“运气”起重要作用，此要求是必须的。

能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。

能够判断成绩表的可约性。

容忍不一致现象；比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致，如果不一致的情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,应该考虑放弃比赛成绩。

对数据可依赖程度给出较为精确的描述。

为了达到这些要求，我们必须要充分利用数据，用最有效的方法处理好数据残缺、不一致性、偶然性等问题，使得排名结果更合理更有说服力。

3.问题假设

假设Ⅰ 参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。

假设Ⅱ 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布。

假设Ⅲ 设净胜球对实力的影响小于胜负影响，即优先比较胜负关系。若胜负场次相同即认为实力相差不大，不能说明两队实力情况。

4.符号说明

符号其定义和说明第队对第队的表现实力胜平均每场净胜球数的攻防能力即进球总数与失球总数的比值判断矩阵判断矩阵的辅助矩阵的主特征值的主特征向量用于构造得辅助矩阵用于构造邻接矩阵的辅助矩阵邻接矩阵参考得分参考得分向量

5.模型的建立与求解

方法一：层次分析法

第一步：根据比赛成绩表构造判断矩阵：

i从1到n,j从1到n的循环，

1)若与互胜场次相等,则

净胜球=0时令；跳出作下一步循环；

净胜球多时以净胜一场作后续处理。

2)若净胜场且,则

胜平均每场净胜球数；

．

3)若与无比赛成绩,则： ；

4)根据上述规则建立判断矩阵：

第二步：检测A的可约性

根据矩阵连通性判定准则：对于矩阵，如果矩阵中的元素全部为非零元素，则矩阵A为连通矩阵；否则如果矩阵中存在个零元素，则矩阵A为非连通矩阵[1]。通过matlab编程计算得：

显然矩阵中没有为0的项，所以矩阵没有可约性。

第三步：构造辅助矩阵

i从1到n,j从1到n循环

为的攻防能力即进球总数与失球总数的比值，为的攻防能力，在数据量比较大的情况下，与的比值可以较好的反映与的实力对比，这是一种较好的补残方法。

按此规则可构造一