当你到海边游玩时，你可曾想过是否能测出海岸线的长度？维基百科告诉我们：“中国有32000km长的海岸线。”但从物理的角度来看，海岸线实际是不可测量的，最多只能说：中国海岸线“轮廓”的长度是多少千米。1967年，犹太人数学家Mandelbrot便用一篇发表在《科学》杂志上仅有三页的论文《英国海岸线有多长？统计自相似和分数维度》阐述了“英国海岸线长度无法精确测量”这一观点。

不同测量尺度下获得的英国海岸线长度

从上图中我们可以看出，用不同尺度去测量英国海岸线长度，得出的结果也不同。通过卫星用千米长的大号尺子测量，会忽略很多的弯弯绕绕；而如果一个人拿着尺子沿海岸线走上一圈测量，他会发现卫星上许多看不见的细节，测量结果会变大；而如果让一只蚂蚁去走，还要长。因此，英国的海岸线根本没有准确的长度，它取决于你测量时使用的尺子，而不是海岸线本身。

随后，Mandelbrot在1975年出版专著《分形对象：形、机遇和维数》，书中他不仅引入了分数维度，还创造性地发明了“分形”一词，这标志着分形几何的诞生。自然界的许多现象和过程都具有分形特征，例如星云的分布、海岸线的形状、山脉的起伏、地震、河网水系分布、人的血管系统、城市噪音、股票变动等等，今天，分形几何学已成为描述自然界，特别是许多不规则地学现象的有力工具。

分形几何的性质

01自相似性

简单来说，分形是一种“无限循环”的模式，在不同的尺度上不断重复自己，这种不断重复的性质叫作自相似。

02无标度性

所谓无标度性，是指当我们变换不同的尺度，都会发现系统还是那样，它没有变化（即自相似性），也就是标度不变性。比如我们所说的大漩涡套着小旋涡，它们发生在不同的尺度，但是却表现出相似性，这就称为无标度特性。

03非线性

线性是指成比例，而非线性则指输入和输出不成比例，比如抛物线就是非线性的。在复杂系统中，非线性是最重要的特性之一。

分形不仅在所有的标度上都有结构，而且在所有标度上都有相同的结构。1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，它的每条曲线都可以相似的形状无限大的细分下去，这严格地显示了分形这种有趣的特征。

1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形。再对其余三个小三角形重复之前的操作，发现了可以无限细分下去的谢尔宾斯基三角形。两年后，他用类似的方法将正方形进行分形，发现了正方形的分形——谢尔宾斯基地毯。

分形的研究，是力图以数学的方法模拟自然界存在的、科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。分形第一次应用的电影是《星际迷航2-可汗之怒》，计算机科学家Loren Carpenter从一个全景图出发， 由一些非常粗略的三角形构成，然后对于每个三角形，分成4个小三角形，继续这样操作下去，迭代，形成了非常逼真的山脉。在过去几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探等方面都得到了广泛的应用；由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。

（来源：“力学科普”微信公众号）