古人如何计算面积与体积? |
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![]() ![]() 中国传统数学解决面积、体积和勾股、测望问题的重要方法是出入相补。出入相补原理是将其积未知的平面图形或立体图形分割成若干部分,将它们重新拼合成其面积或体积为已知的图形,从而解决与面积、体积有关的问题,它起源于《算数书》、《九章算术》编纂的时代,不过现传最早的记载在赵爽《周髀算经注》的勾股圆方图说与刘徽《九章算术注》的方田、少广、商功、勾股等章中。它基于这两个基本的前提:将一个图形分割成若干部分,则它们全体的面积或体积之和等于原图形的面积或体积;将一个图形平移或旋转不改变其面积或体积。这两个前提在中国传统数学著作中没有表述过,是当作不言自明的真理使用。 ![]() ![]() 《九章算术》提出了长方形、三角形、梯形等多边形的面积公式。刘徽对长方形的面积公式没有证明,只给出了面积的定义:“凡广从相乘谓之幂。”显然,幂是面积,与今天指乘方是不同的。对其他多边形的面积公式,都是用出入相补原理证明。已知三角形的三边为:小斜a,大斜b,中斜c,秦九韶在《数书九章》提出了三斜求积术:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上。以小斜幂乘大斜幂,减上,余,四约之,为实。一为从隅,开平方得积。”此即:
《算数书》、《九章算术》提出了若干多面体体积公式。其中以长方体 ![]() 堑堵 古代数学名词。两底面为直角三角形的棱柱,亦即长方体的斜截平分体。 ![]() 阳马 阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体。 ![]() 鳖臑 鳖臑是三角锥体的古称。 |
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