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1. 不定积分及其基本计算方法
不定积分
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
[email protected]
不定积分及其基本计算方法
基本概念
定义 1. (原函数) 区间$I$上，$F'(x)=f(x), \forall x\in I$，或$dF(x)=f(x)dx$，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。 区间$I$可以是开、或闭，有限、或无穷。端点处为单侧导数 $F'(x)=f(x)$，则$(F(x)+c)'=f(x), \forall c\in \mathbb{R}$。所以原函数不唯一 若$F'(x)=G'(x)=f(x)$，则$(F(x)-G(x))'=0$，所以$G(x)=F(x)+c$。综上所述，$F(x)+c$为所有$F'(x)=f(x)$的函数。 定义 2. 称$f(x)$在区间$I$上的全体原函数$\{F(x)+c\}$为函数$f(x)$在$I$上的不定积分，记为 \[\int f(x)dx \]$\int$为积分符号，$f(x)$为被积函数， $x$为积分变量，$f(x)dx$为被积表达式， 积分符号$\int$更确切地表示是求一个函数$F(x)$，它的微分是$f(x)dx$。因此， 函数$f(x)$的不定积分，应该更确切地称为微分$f(x)dx$的不定积分。 不定积分是微分的逆运算 几何意义： 求$f(x)$的原函数，就是找一个函数$y=F(x)$，它在$x$处的切线斜率为$f(x)$。这样的一条曲线称为$f(x)$的一条积分曲线。而将一条积分曲线沿$y$方向作平移，就可以得到所有的积分曲线。因此，不定积分$\int f(x)dx$表示包含全部这些积分曲线的曲线族。 \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{intersections, calc} \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=latex'] \def\tangentlength{1.2cm}; % code for draw a coordinate axes \node(O) at (0,0) [below left]{$\mathrm{O}$}; \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.6) node[left]{$y$}; \tikzset{ integration/.pic={ % Code for a curve with tangent \draw[name path=graph, thick] (0.1,0.1) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2); \path[name path=main] (2.8,0) -- (2.8,2); \path[name path=sub] ($(2.8,0)+(1pt,0)$) -- ($(2.8,2)+(1pt,0)$); \path[name intersections={of=graph and main}]; \coordinate (a) at (intersection-1); \path[name intersections={of=graph and sub}]; \coordinate (b) at (intersection-1); \draw ($(a)!-\tangentlength/2!(b)$)--($(a)!\tangentlength/2!(b)$); } } \draw (0,0.5) pic {integration}; \draw (0,0) pic {integration}; \draw[dashed,help lines] ($(0,0)!(a)!(0,1)$)-| ($(0,0)!(a)!(1,0)$); \end{tikzpicture} \[\int f(x)dx=F(x)+C \]若要求出过定点$(x_0,y_0)$的积分曲线，则需要确定积分常数$C$的值。通常称确定常数$C$的条件 \[y(x_0)=y_0 \]为初值条件。带有初值条件的问题 \[\begin{cases} y'(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \]为初值问题。 什么样的函数有原函数？ 至少有第一类间断点的函数不会有原函数一个初等函数的原函数会仍然是初等函数吗？ 不一定。如 \[\int e^{-x^2}dx, \ \ \int\frac1{\ln x}dx, \ \ \ \int\sin(x^2)dx \] 如何计算出原函数？ 基本的积分公式 \[\begin{aligned} &\int k dx=kx+C & \\ &\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C , \alpha\neq -1 & &\int \dfrac{1}{x} dx=\ln(|x|)+C \\ &\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C && \int\dfrac{1}{\sin^2x}=-\cot x+C \\ &\int\sin xdx=-\cos x+C && \int \cos xdx=\sin x+C \\ &\int e^xdx=e^x+C && \int a^x dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C \\ \end{aligned} \] \[\begin{aligned} &\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x + C&& \\ &\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x +C && \\ &\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) + C && \\ \end{aligned} \] 积分的基本性质 $\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$ , $\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$ $\displaystyle\int dF(x)=\int f(x) dx=F(x)+c$, $\displaystyle\int f'(x) =f(x)+c$ $\displaystyle\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$, 其中$\alpha$, $\beta$为不全为0的实数 直接计算积分例 1. $\displaystyle\int 2^x e^x dx$ 例 2. $\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{\sqrt x}dx$ 例 3. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx$ 例 4. (例4.1.2) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx$ 例 5. $\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^4}dx$ 拼接例 6. 证明$(-\infty,1),(-1,1),(1,+\infty)$上$\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}$是$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$的原函数。并求出$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$在$(-\infty,+\infty)$上的原函数 例 7. $\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx, x\in\mathbb{R}$ 例 8. $\displaystyle\int e^{|x|}dx , x\in\mathbb{R}$ 换元积分法换元积分法与复合函数的微分法则相对应。它通过引入新的变量，来改变被积函数的形式，使不定积分易于求解。 定理 1. (第一换元) 设$F(u)$是$f(u)$的一个原函数， $u=\phi(x)$可微，则 \[\int f(\phi(x))\cdot\phi'(t)dx=F(\phi(x))+C \]即，$f(\phi(x))\cdot\phi'(x)$的一个原函数是$F(\phi(x))$。 定理 2. (第二换元) 设函数$x=\phi(t)$是严格单调的可微函数，且$\phi'(t)\neq0$。若 \[\int f(\phi(t))\phi'(t)dt=G(t)+C \]则有 \[\int f(x)dx=G(\phi^{-1}(x))+C \]即，$f(x)$有一个原函数$G(\phi^{-1}(x))$。 第一换元法，又叫做凑微分法。在被积表达式中，正好看到了某个微分式。 如，注意到$\cos xdx=d(\sin x)$ \[\begin{aligned} \int \cos x\sin x dx=&\int \sin x d(\sin x) \\ (t=\sin x)=&\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned} \]第二换元法则是主动用表达式替换$x$，如 令$t=\sin x$，则$dt=\cos x dx$，即$dx=\dfrac{1}{\cos x}dt$，则有 \[\begin{aligned} \int \cos x \sin x dx=\int \cos(x) t dx=\int t \cos x \dfrac{1}{\cos x}dt \\ =\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned} \]例 9. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{4+(ax+b)^2}}dx$ 例 10. $\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}dx$ 例 11. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}dx$ 例 12. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx$, $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx$ 例 13. $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$, $\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$ 分部积分法定理 3. (分部积分) 设$u(x),v(x)$可导，$\displaystyle\int u'(x)v(x)dx$存在，则 $\displaystyle \int u(x)v'(x)dx$也存在，且 \[\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx \]例 14. (例4.1.12) $\displaystyle\int\ln xdx$, $\displaystyle\int\arctan x dx$, $\displaystyle\int\arcsin x dx$ 例 15. $\displaystyle\int\sin x\ln(\tan x)dx$ 例 16. 求积分$\displaystyle\int\frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$ 例 17. $\displaystyle\int x^2\sin(2x)dx$ 例 18. $\displaystyle\int(\dfrac{\ln x}{x})^2dx$ 对积分$\displaystyle\int p_n(x) f(x) dx$，其中$p_n(x)$为多项式， $f(x)$为$\sin(x), \cos(x), e^x$，则可以采用降幂的方法 \[\int p_n(x)\sin xdx=-\int p_n(x)d\cos x \] $f(x)$为$\ln x,\arctan x, \arcsin x$，可以采用升幂的方法 \[\int p_n(x)\ln xdx=\int \ln x dp_{n+1}(x) \] 循环例 19. $\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx$ 例 20. $\displaystyle\int \sqrt{x^2+A}dx$ 例 21. $\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx)dx , a,b\neq 0$ 递推例 22. $\displaystyle\int \sec^n xdx=I_n$ 例 23. $\displaystyle\int\tan^n xdx=I_n$ 例 24. (例4.1.14) $\displaystyle\int\dfrac1{(x^2+a^2)^n}dx$ 谢谢 vertical slide 2 目录 本节读完例 25. $f(x)$在$I$上定义，有原函数$F(x)$，则 若$f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数 若$f(x)$为偶函数，则$F(x)$中只有唯一一个奇函数25. 证： 设$F'(x)=f(x)$为其中一个原函数 1. 由$(F(x)-F(-x))'=f(x)+f(-x)=0$，可知 \[F(x)-F(-x)=c \]又$F(0)-F(-0)=0$，可知$c=0$，即有 \[F(x)=F(-x) \]2. 由$(F(x)+F(-x))'=f(x)-f(-x)=0$，则 \[F(x)+F(-x)=c \] 若$F(0)=0$，则$c=0$。这时，有$F(x)=-F(-x)$，此时$F(x)$为奇函数 若$F(0)\neq0$，则$F(x)$不是奇函数[#ex-2-1-0]. |
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