笔记来源： 1.10个命题搞懂可积和原函数存在 2.考研变限积分概念超详细，超通俗讲解（变限积分和原函数关系）

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无论开区间还是闭区间，只要 f ( x ) f(x) f(x)连续，则一定有原函数，原函数一定可导 f ( x ) f(x) f(x)有第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）时一定没有原函数 f ( x ) f(x) f(x)有第二类间断点中的无穷间断点时一定没有原函数 f ( x ) f(x) f(x)有第二类间断点中的振荡间断点时可能有原函数

f ( x ) f(x) f(x)有跳跃间断点时一定没有原函数 证明： 假设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 ∈ I x_0\in I x0​∈I上有跳跃间断点且 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上有原函数，即对 ∀ x ∈ I \forall x\in I ∀x∈I 都有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)，又由于 F ( x ) F(x) F(x)在 I I I上可导，所以 F ( x ) F(x) F(x)在 I I I上连续 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A 1   lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A 2   由于 x 0 为跳跃间断点，故 A 1 ≠ A 2   F + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 + F ( x ) − F ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ x → x 0 + F ′ ( x ) = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A 1 （洛必达）   F − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 − F ( x ) − F ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ x → x 0 − F ′ ( x ) = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A 2 （洛必达）   由于 A 1 ≠ A 2 ，故 F ′ ( x 0 ) 不存在，与假设可导矛盾，故 f ( x ) 在 I 不存在原函数 \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A_1\\ ~\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A_2\\ ~\\ \text{由于}x_0\text{为跳跃间断点，故}A_1\neq A_2\\ ~\\ F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}F'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A_1（\text{洛必达}）\\ ~\\ F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}F'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A_2（\text{洛必达}）\\ ~\\ \text{由于}A_1\neq A_2，\text{故}F'(x_0)\text{不存在，与假设可导矛盾，故}f(x)\text{在}I\text{不存在原函数} x→x0+​lim​f(x)=A1​ x→x0−​lim​f(x)=A2​ 由于x0​为跳跃间断点，故A1​=A2​ F+′​(x0​)=x→x0+​lim​x−x0​F(x)−F(x0​)​=x→x0+​lim​F′(x)=x→x0+​lim​f(x)=A1​（洛必达） F−′​(x0​)=x→x0−​lim​x−x0​F(x)−F(x0​)​=x→x0−​lim​F′(x)=x→x0−​lim​f(x)=A2​（洛必达） 由于A1​=A2​，故F′(x0​)不存在，与假设可导矛盾，故f(x)在I不存在原函数

f ( x ) f(x) f(x)必须在闭区间上连续

定积分存在就等价于面积存在

即便原函数 f ( x ) f(x) f(x)存在第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）其定积分仍存在，也就是其面积仍存在。因为某一条线与 x x x轴围成的面积为0，所以第一类间断点并不影响总体面积大小。

将 ∫ a b f ( t ) d t \int_{a}^{b}f(t)dt ∫ab​f(t)dt 中的 b b b 用 x x x 代替，且 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]上变动，则 ∫ a x f ( t ) d t \int_{a}^{x}f(t)dt ∫ax​f(t)dt变成了一个函数（以 x x x为自变量）将其称为变限积分，记作 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t   x ∈ [ a , b ] F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\ x\in[a,b] F(x)=∫ax​f(t)dt x∈[a,b] f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 ′ [ a , b ] '[a,b] ′[a,b]上可积，则 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫ax​f(t)dt在闭区间 ′ [ a , b ] '[a,b] ′[a,b]上连续 什么情况下函数 f ( x ) f(x) f(x)可积？ 情况一：函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续 情况二：函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界且有有限个间断点 定积分的存在性与变限积分的存在性是一回事，都要求 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，即有界且有有限个间断点

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫ax​f(t)dt在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导且 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x) 证明： F ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x   F ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( ϵ ) Δ x Δ x = f ( x )  【 ϵ ∈ ( x , x + Δ x ) 】积分中值定理 F'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x+\Delta x}_af(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt}{\Delta x}\\ ~\\ F'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x+\Delta x}_xf(t)dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(\epsilon)\Delta x}{\Delta x}=f(x)\ 【\epsilon\in(x,x+\Delta x)】\text{积分中值定理} F′(x)=Δx→0lim​ΔxF(x+Δx)−F(x)​=Δx→0lim​Δx∫ax+Δx​f(t)dt−∫ax​f(t)dt​ F′(x)=Δx→0lim​Δx∫xx+Δx​f(t)dt​=Δx→0lim​Δxf(ϵ)Δx​=f(x) 【ϵ∈(x,x+Δx)】积分中值定理