正定矩阵 |
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正定矩阵
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线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵 向量标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积） · 内积（数量积） 矩阵与行列式矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 克罗内克积 线性空间与线性变换线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 查论编在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 目录 1 定义 2 正定矩陣 2.1 二次型 3 负定、半定及不定矩阵 4 相关性质 5 非埃尔米特矩阵的情况 6 参见 7 参考资料 8 外部链接 定义[编辑]一个 n × n {\displaystyle n\times n} 的实对称矩阵 M {\displaystyle M} 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 z {\displaystyle \mathbf {z} } ，都有 z T M z > 0 {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0} 。其中 z T {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}} 表示 z {\displaystyle \mathbf {z} } 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 n × n {\displaystyle n\times n} 的埃尔米特矩阵 M {\displaystyle M} 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 z {\displaystyle \mathbf {z} } ，都有 z ∗ M z > 0 {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0} 。其中 z ∗ {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}} 表示 z {\displaystyle \mathbf {z} } 的共轭转置。 這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 M {\displaystyle M} 及複向量 z {\displaystyle \mathbf {z} } ， z ∗ M z {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 必定是实数。 首先，因為 M {\displaystyle M} 是埃爾米特矩陣，所以我們有 M ∗ = M {\displaystyle M^{*}=M} 。接下來我們計算所求的共轭转置： ( z ∗ M z ) ∗ = z ∗ M ∗ ( z ∗ ) ∗ = z ∗ M z {\displaystyle (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )^{*}=\mathbf {z} ^{*}M^{*}(\mathbf {z} ^{*})^{*}=\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 。因為 z ∗ M z {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 z ∗ M z {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 是實數。 正定矩陣[编辑]对於 n × n {\displaystyle n\times n} 的埃尔米特矩阵 M {\displaystyle M} ，下列性质与「 M {\displaystyle M} 为正定矩阵」等价： M {\displaystyle M} 的所有的特征值 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 都是正的。 根据谱定理， M {\displaystyle M} 与一个实对角矩阵 D {\displaystyle D} 相似（也就是说 M = U − 1 D U {\displaystyle M=U^{-1}DU} ，其中 U {\displaystyle U} 是酉矩阵，或者说 M {\displaystyle M} 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此， M {\displaystyle M} 是正定阵当且仅当相应的 D {\displaystyle D} 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假設 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 和 v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 是 M {\displaystyle M} 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 M v i = λ i v i {\displaystyle M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}} ，從左側同乘以 v i ∗ {\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}} 得到： v i ∗ M v i = λ i v i ∗ v i = λ i ‖ v i ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}} 。因為 M {\displaystyle M} 是正定矩陣，根據定義我們有 v i ∗ M v > 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0} 。移項整理後可以得到 λ i = v ∗ M v ‖ v i ‖ 2 > 0 {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0} 。注意因為特徵向量 v i ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0} } ，所以前述 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 不會有無解的情形。 半双线性形式 ⟨ x , y ⟩ = x ∗ M y {\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}} 定义了一个 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的内积。实际上，所有 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。 M {\displaystyle M} 是向量 x 1 , … , x n ∈ C k {\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}} 構成的格拉姆矩阵，其中 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 。更精确地说， M = [ m i j ] {\displaystyle M=[m_{ij}]} 定义为： m i j = ⟨ x i , x j ⟩ = x i ∗ x j {\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}} 。换句话说， M {\displaystyle M} 具有 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 的形式，其中 A {\displaystyle A} 不一定是方阵，但必須是单射的。 M {\displaystyle M} 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则（英语：Sylvester's criterion））。明确地说，就是考察 M {\displaystyle M} 左上角大小 1 × 1 , … , n × n {\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n} 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： [ 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}} 存在唯一的下三角矩阵 L {\displaystyle L} ，其主对角线上的元素全是正的，使得 M = L L ∗ {\displaystyle M=LL^{*}} 。其中 L ∗ {\displaystyle L^{*}} 是 L {\displaystyle L} 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 改为 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ，並将「共轭转置」改为「转置」即可。 二次型[编辑]由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 K {\displaystyle \mathbb {K} } 代表 C {\displaystyle \mathbb {C} } 或 R {\displaystyle \mathbb {R} } ，设 V {\displaystyle \mathbb {V} } 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的一个向量空间。一个埃尔米特型： B : V × V → K {\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}是一个双线性映射，使得 B ( x , y ) {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} 总是 B ( y , x ) {\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )} 的共轭。这样的一个映射 B {\displaystyle B} 是正定的若且唯若對於 V {\displaystyle \mathbb {V} } 中所有的非零向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } ，都有 B ( x , x ) > 0 {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0} 。 负定、半定及不定矩阵[编辑]与正定矩阵对应，一个 n × n {\displaystyle n\times n} 的埃尔米特矩阵 M {\displaystyle M} 是负定矩阵（英語：negative-definite matrix）若且唯若对所有非零向量 z ∈ R n {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}} （或 z ∈ C n {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}} ），都有 z ∗ M z C n {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}} ），都有 z ∗ M z ≥ 0 {\displaystyle z^{*}Mz\geq 0} 。 M {\displaystyle M} 是半负定矩阵（英語：negative semi-definite matrix）若且唯若對於所有非零向量 z ∈ R n {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}} （或 z ∈ C n {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}} ），都有 z ∗ M z ≤ 0 {\displaystyle z^{*}Mz\leq 0} 。 如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英語：indefinite matrix）。 可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 M {\displaystyle M} 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 A {\displaystyle A} ， A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 必是半正定的，并有 r a n k ( A ) = r a n k ( A ∗ A ) {\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)} （两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 M = A ∗ A {\displaystyle M=A^{*}A} ，这就是科列斯基分解。 对於任意矩阵 A {\displaystyle A} ，因為 ( A ∗ A ) ∗ = A ∗ ( A ∗ ) ∗ = A ∗ A {\displaystyle (A^{*}A)^{*}=A^{*}(A^{*})^{*}=A^{*}A} ，因此 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 是埃爾米特矩陣。令 v ∈ C n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}} ，則 v ∗ ( A ∗ A ) v = ( v ∗ A ∗ ) ( A v ) = ( A v ) ∗ ( A v ) = ‖ A v ‖ 2 ≥ 0 {\displaystyle \mathbf {v} ^{*}(A^{*}A)\mathbf {v} =(\mathbf {v} ^{*}A^{*})(A\mathbf {v} )=(A\mathbf {v} )^{*}(A\mathbf {v} )=\Vert A\mathbf {v} \Vert ^{2}\geq 0} ，因此 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 是半正定的。另外，我們很容易證明 A {\displaystyle A} 與 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 有相同的零空間，根據秩 – 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。 一个埃尔米特矩阵 M {\displaystyle M} 是负定矩阵若且唯若 M {\displaystyle M} 的所有奇数阶顺序主子式小于 0 {\displaystyle 0} ，所有偶数阶顺序主子式大于 0 {\displaystyle 0} 。当 M {\displaystyle M} 是负定矩阵时， M {\displaystyle M} 的逆矩阵也是负定的。 相关性质[编辑]若 M {\displaystyle M} 为半正定矩阵，可以記作 M ≥ 0 {\displaystyle M\geq 0} 。如果 M {\displaystyle M} 是正定矩阵，可以記作 M > 0 {\displaystyle M>0} 。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。 对于一般的埃尔米特矩阵， M {\displaystyle M} 、 N {\displaystyle N} ， M ≥ N {\displaystyle M\geq N} 若且唯若 M − N ≥ 0 {\displaystyle M-N\geq 0} 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 M > N {\displaystyle M>N} 。 1. 每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 M ≥ N > 0 {\displaystyle M\geq N>0} 那么 N − 1 ≥ M − 1 > 0 {\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0} 。 2. 如果 M {\displaystyle M} 是正定阵， r > 0 {\displaystyle r>0} 为正实数，那么 r M {\displaystyle rM} 也是正定阵。如果 M {\displaystyle M} 、 N {\displaystyle N} 是正定阵，那么 M + N {\displaystyle M+N} 、 M N M {\displaystyle MNM} 与 N M N {\displaystyle NMN} 都是正定的。如果 M N = N M {\displaystyle MN=NM} ，那么 M N {\displaystyle MN} 仍是正定阵。 3. 如果 M = ( m i j ) > 0 {\displaystyle M=(m_{ij})>0} 那么主对角线上的元素 m i i {\displaystyle m_{ii}} 为正实数。于是有 tr ( M ) > 0 {\displaystyle {\text{tr}}(M)>0} 。此外还有 | m i j | ≤ m i i m j j ≤ m i i + m j j 2 {\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}} 。 4. 矩阵 M {\displaystyle M} 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 B > 0 {\displaystyle B>0} 使得 B 2 = M {\displaystyle B^{2}=M} 。根据其唯一性可以记作 B = M 1 / 2 {\displaystyle B=M^{1/2}} ，称 B {\displaystyle B} 为 M {\displaystyle M} 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 M > N > 0 {\displaystyle M>N>0} 那么 M 1 / 2 > N 1 / 2 > 0 {\displaystyle M^{1/2}>N^{1/2}>0} 。 5. 如果 M , N > 0 {\displaystyle M,N>0} 那么 M ⊗ N > 0 {\displaystyle M\otimes N>0} ，其中 ⊗ {\displaystyle \otimes } 表示克羅內克積。 6. 对矩阵 M = ( m i j ) , N = ( n i j ) {\displaystyle M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})} ，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 M ∘ N {\displaystyle M\circ N} ，即 ( M ∘ N ) i , j = m i j n i j {\displaystyle (M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}} ，称为 M {\displaystyle M} 与 N {\displaystyle N} 的 阿达马乘积。如果 M , N > 0 {\displaystyle M,N>0} ，那么 M ∘ N > 0 {\displaystyle M\circ N>0} 。如果 M , N {\displaystyle M,N} 为实係数矩阵，则以下不等式成立：det ( M ∘ N ) ≥ ( det N ) ∏ i m i i {\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}} 。 7. 设 M > 0 {\displaystyle M>0} ， N {\displaystyle N} 为埃尔米特矩阵。如果 M N + N M ≥ 0 {\displaystyle MN+NM\geq 0} （相應地， M N + N M > 0 {\displaystyle MN+NM>0} ），那么 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} （相應地， N > 0 {\displaystyle N>0} ）。 8. 如果 M , N ≥ 0 {\displaystyle M,N\geq 0} 为实系数矩阵，则 tr ( M N ) ≥ 0 {\displaystyle {\text{tr}}(MN)\geq 0} 。 9. 如果 M > 0 {\displaystyle M>0} 为实系数矩阵，那么存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 使得 M ≥ δ I {\displaystyle M\geq \delta I} ，其中 I {\displaystyle I} 为单位矩阵。 非埃尔米特矩阵的情况[编辑]一个实矩阵 M {\displaystyle M} 可能满足對於所有的非零实向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } ， x T M x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0} ，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵 [ 1 1 − 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}} 就满足这个条件。对於 x = [ x 1 x 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}} 并且 x ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} } ， [ x 1 x 2 ] [ 1 1 − 1 1 ] [ x 1 x 2 ] = x 1 2 + x 2 2 > 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0} 。一般来说，一个实系数矩阵 M {\displaystyle M} 满足对所有非零实向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } ， x T M x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0} ，若且唯若对称矩阵 ( M + M T ) / 2 {\displaystyle (M+M^{T})/2} 是正定矩阵。 对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 z ∗ M z > 0 {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0} 这一性质。要使得 z ∗ M z {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 总为实数，矩阵 M {\displaystyle M} 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 z ∗ M z {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} } 总是正实数， M {\displaystyle M} 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 z ∗ M z > 0 {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0} 扩展为 ℜ ( z ∗ M z ) > 0 {\displaystyle \Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0} ，则等价于 ( M + M ∗ ) / 2 {\displaystyle (M+M^{*})/2} 为正定矩阵。 参见[编辑] 确定双线性形式 矩阵的平方根 舒尔补 正定核（英语：Positive-definite kernel） 正定函数 科列斯基分解 线性矩阵不等式 合同矩阵 参考资料[编辑] Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback). Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181. 外部链接[编辑] 正定矩阵 关于对称矩阵的一些讨论 |
的实对称矩阵
M
{\displaystyle M}
是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
，都有
z
T
M
z
>
0
{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0}
。其中
z
T
{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}}
表示
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
。其中
z
∗
{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}
表示
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
必定是实数。
。接下來我們計算所求的共轭转置：
(
z
∗
M
z
)
∗
=
z
∗
M
∗
(
z
∗
)
∗
=
z
∗
M
z
{\displaystyle (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )^{*}=\mathbf {z} ^{*}M^{*}(\mathbf {z} ^{*})^{*}=\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }
。因為
z
∗
M
z
{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }
都是正的。 根据谱定理，
M
{\displaystyle M}
相似（也就是说
M
=
U
−
1
D
U
{\displaystyle M=U^{-1}DU}
，其中
U
{\displaystyle U}
是酉矩阵，或者说
M
{\displaystyle M}
是
M
{\displaystyle M}
，從左側同乘以
v
i
∗
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}
得到：
v
i
∗
M
v
i
=
λ
i
v
i
∗
v
i
=
λ
i
‖
v
i
‖
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}
。因為
M
{\displaystyle M}
。移項整理後可以得到
λ
i
=
v
∗
M
v
‖
v
i
‖
2
>
0
{\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0}
。注意因為特徵向量
v
i
≠
0
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0} }
，所以前述
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
定义了一个
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
上的内积。实际上，所有
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
構成的格拉姆矩阵，其中
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
。更精确地说，
M
=
[
m
i
j
]
{\displaystyle M=[m_{ij}]}
![{\displaystyle M=[m_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528ce6e12244ad81c77d3c4871e0483a7173d7ac)
定义为：
m
i
j
=
⟨
x
i
,
x
j
⟩
=
x
i
∗
x
j
{\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}
。换句话说，
M
{\displaystyle M}
的形式，其中
A
{\displaystyle A}
不一定是方阵，但必須是单射的。
M
{\displaystyle M}
的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
[
1
1
1
1
1
1
1
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}
存在唯一的下三角矩阵
L
{\displaystyle L}
，其主对角线上的元素全是正的，使得
M
=
L
L
∗
{\displaystyle M=LL^{*}}
。其中
L
∗
{\displaystyle L^{*}}
是
L
{\displaystyle L}
，並将「共轭转置」改为「转置」即可。
代表
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
或
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
，设
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
总是
B
(
y
,
x
)
{\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}
的共轭。这样的一个映射
B
{\displaystyle B}
是正定的若且唯若對於
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
，都有
B
(
x
,
x
)
>
0
{\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}
。
（或
z
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}
），都有
z
∗
M
z
C
n
{\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}
。
。
（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作
M
=
A
∗
A
{\displaystyle M=A^{*}A}
，这就是科列斯基分解。
，因此
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
，則
v
∗
(
A
∗
A
)
v
=
(
v
∗
A
∗
)
(
A
v
)
=
(
A
v
)
∗
(
A
v
)
=
‖
A
v
‖
2
≥
0
{\displaystyle \mathbf {v} ^{*}(A^{*}A)\mathbf {v} =(\mathbf {v} ^{*}A^{*})(A\mathbf {v} )=(A\mathbf {v} )^{*}(A\mathbf {v} )=\Vert A\mathbf {v} \Vert ^{2}\geq 0}
，因此
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
，所有偶数阶顺序主子式大于
0
{\displaystyle 0}
。如果
M
{\displaystyle M}
。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。
，
M
≥
N
{\displaystyle M\geq N}
若且唯若
M
−
N
≥
0
{\displaystyle M-N\geq 0}
。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义
M
>
N
{\displaystyle M>N}
。
那么
N
−
1
≥
M
−
1
>
0
{\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0}
。
2.
如果
M
{\displaystyle M}
为正实数，那么
r
M
{\displaystyle rM}
也是正定阵。
、
M
N
M
{\displaystyle MNM}
与
N
M
N
{\displaystyle NMN}
都是正定的。如果
M
N
=
N
M
{\displaystyle MN=NM}
，那么
M
N
{\displaystyle MN}
仍是正定阵。
那么主对角线上的元素
m
i
i
{\displaystyle m_{ii}}
为正实数。于是有
tr
(
M
)
>
0
{\displaystyle {\text{tr}}(M)>0}
。此外还有
|
m
i
j
|
≤
m
i
i
m
j
j
≤
m
i
i
+
m
j
j
2
{\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}}
。
4.
矩阵
M
{\displaystyle M}
使得
B
2
=
M
{\displaystyle B^{2}=M}
。根据其唯一性可以记作
B
=
M
1
/
2
{\displaystyle B=M^{1/2}}
，称
B
{\displaystyle B}
那么
M
1
/
2
>
N
1
/
2
>
0
{\displaystyle M^{1/2}>N^{1/2}>0}
。
5.
如果
M
,
N
>
0
{\displaystyle M,N>0}
那么
M
⊗
N
>
0
{\displaystyle M\otimes N>0}
，其中
⊗
{\displaystyle \otimes }
表示克羅內克積。
6.
对矩阵
M
=
(
m
i
j
)
,
N
=
(
n
i
j
)
{\displaystyle M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})}
，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为
M
∘
N
{\displaystyle M\circ N}
，即
(
M
∘
N
)
i
,
j
=
m
i
j
n
i
j
{\displaystyle (M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}}
，称为
M
{\displaystyle M}
。如果
M
,
N
{\displaystyle M,N}
为实係数矩阵，则以下不等式成立：
。
（相應地，
M
N
+
N
M
>
0
{\displaystyle MN+NM>0}
），那么
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
（相應地，
N
>
0
{\displaystyle N>0}
）。
8.
如果
M
,
N
≥
0
{\displaystyle M,N\geq 0}
为实系数矩阵，则
tr
(
M
N
)
≥
0
{\displaystyle {\text{tr}}(MN)\geq 0}
。
9.
如果
M
>
0
{\displaystyle M>0}
使得
M
≥
δ
I
{\displaystyle M\geq \delta I}
，其中
I
{\displaystyle I}
为单位矩阵。
非埃尔米特矩阵的情况[编辑]
，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵
就满足这个条件。对於
x
=
[
x
1
x
2
]
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}
并且
x
≠
0
{\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }
，
[
x
1
x
2
]
[
1
1
−
1
1
]
[
x
1
x
2
]
=
x
1
2
+
x
2
2
>
0
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0}
。
是正定矩阵。
，则等价于
(
M
+
M
∗
)
/
2
{\displaystyle (M+M^{*})/2}
为正定矩阵。
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