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第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第2课时 直角三角形的性质和判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。【过程与方法】会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。【情感态度与价值观】让学生体会从一般到特殊的思想。二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。【教学难点】经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。五、课前准备教师：课件、三角尺、量角器等。学生：三角尺、直尺、量角器。六、教学过程（一）导入新课本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）（二）探索新知1.探索直角三角形的性质教师问1：三角形的内角和是多少度？学生回答：三角形内角和为180°.教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：学生回答：直角三角形.教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度 （出示课件4）学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？学生回答：两个锐角的和是90°.教师问5：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）学生回答：在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°.教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？学生回答：直角三角形的两个锐角互余.教师总结：（出示课件6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）师生共同解答如下:方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）师生共同解答如下：解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.出示课件9，学生自主练习解答。例2：如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10）师生共同解答如下：解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °– ∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90 °– ∠BED.∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE.总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12）基本图形：∠A=∠D ∠A=∠C2.活动探究直角三角形的判定方法教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形.教师问8：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13）学生小组讨论给出证明如下：在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°，又 ∠A +∠B=90°，所以∠C=90°.即△ABC是直角三角形.教师总结：（出示课件14）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.应用格式：在△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，∴　△ABC 是直角三角形．探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形例：如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15）师生共同解答如下：解：在Rt△ABC中，∠2+ ∠A=90 °.∵ ∠1= ∠2，∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.例：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17）师生共同解答如下：解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.（三）课堂练习（出示课件20-23）1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.2. 如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________.3. 在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　）A．∠A+∠B=∠CB．∠A–∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C6. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　）A．∠B B．∠AC．∠BCD和∠A D．∠BCD7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．参考答案：1. 90°2. 52°3. 直角三角形4.B5.D6.C7. 证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1．直角三角形的内角有什么关系？答：直角三角形的两锐角互余．2．目前已学的直角三角形的判定方法：答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．（五）课前预习预习下节课（11.2.2）的相关内容。知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数七、课后作业1、教材14页练习和教材16页第4题2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．八、板书设计：11.2.1三角形的内角（第2课时）直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC例1：例2：有两个角互余的三角形是直角三角形.　　应用格式：在△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，∴　△ABC 是直角三角形．例3：例4：九、教学反思：老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第1课时 三角形的内角和一、教学目标【知识与技能】应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】1.了解三角形的内角和等于180°.2.利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题.【教学难点】1.利用所学知识证明三角形内角和等于180°.2.认识辅助线，了解辅助线的作法及作用.3.独立完成证明过程.五、课前准备教师：课件、三角尺、量角器、三角形纸等。学生：三角尺、量角器、三角形纸、剪刀。六、教学过程（一）导入新课一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.（出示课件2）（二）探索新知探究1.三角形的内角和教师问1：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C等于多少度？学生回答：∠A＋∠B＋∠C＝180°.教师问2：这个结论你是如何得出的？学生回答1：可以利用拼接的方法，如下图：（出示课件4）学生回答2：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量.（出示课件5-6）计算如下：600＋480＋720＝1800教师问3：利用这些方法得出的结论准确吗？学生回答：不准确(或准确).教师讲解：如何得到准确的答案呢？我们一起进入下面的环节：2.思考证明三角形的内角和定理师生互动，探究新知1.观察三角形的构成，探索三角形的概念教师问4：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°？学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角.如图①、图②，（出示课件7）图①　　　　图②教师问5：测量的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？学生回答：如果图上虚线l存在就好了。学生问：在图①、图②中，直线l是存在吗？教师答：它们不存在，我们可以画上它们，帮助我们做题.教师问6：看一下，在图①、图②中，直线l有什么特点呢？学生回答：图①中的直线l∥BC，图②中的直线l∥AB，我们自己画上帮助证明用的.教师问7：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明.教师问8：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.学生回答：（出示课件8）已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明1：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，内错角相等).同理，∠2＝∠C.∵∠1，∠BAC，∠2组成平角，∴∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角定义).∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)，即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.证明2：（出示课件9）延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.教师问9:同学们还有其他的方法吗？学生回答：有如下证明的方法：（出示课件10）证明3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴ ∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.学生问：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？教师答：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.还有下边的辅助线，同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.（出示课件12）总结点拨：（出示课件13）1.作辅助线为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.2. 思路总结为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.探究2.利用三角形的内角和定力求角的度数例1：如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.（出示课件14）师生共同解答如下：解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得∠BAD= ∠BAC=20 °.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B –∠BAD=180°–75°–20°=85°.出示课件15-17，完成练习例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D.（出示课件18）师生共同解答如下：解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.出示课件19，完成练习总结点拨：（出示课件20）基本图形：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.基本图形：由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D.探究3.方程的思想与三角形内角和定理的综合应用例3：在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.师生共同解答如下：（出示课件21）解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.出示课件22-24，学生自己思考解答探究4.利用三角形的内角和定理解决实际问题（方位问题）例4：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（出示课件25）师生共同解答如下：（出示课件26）解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °.所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°.在△ABC中，∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB=180°–60°–30° =90°，答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.（三）课堂练习（出示课件30-34）1.求出下列各图中的x值．2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=________．3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .4. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．5. 如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.6. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？参考答案：1. x=70 x=60 x=30 x=502. 100°3. 280 °4. 解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）=180°–（78°+60°）=42°．5. 解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.6. 解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–60°=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–（∠ABC+∠ACB）=180°–（180°–∠A）=90°+∠A ．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节主要学习三角形内角和等于180°.2.本节涉及的思想方法是整体思想.3.师生共同总结本节课需要注意的问题.（五）课前预习预习下节课（11.2.1）教材P13-P14的相关内容。知道直角三角形的性质定理和判定定理七、课后作业1、教材13页练习1,22、在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.八、板书设计：九、教学反思：本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课.本节的部分知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证.在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力.在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯.本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯.

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