國中數學

2024-07-14 17:40| 来源: 网络整理| 查看: 265

當我們有兩個很像的圖形時，要怎麼確定他們一樣呢？總不可能說他們「看起來一樣」吧！因為我們肉眼看到的不一定是準確的，有可能邊長差了0.01公分，那就不能說一樣啦！所以在本章節將會介紹如何用數學的方法說明兩個三角形一樣。在數學上，一模一樣的圖形我們有個術語叫做「全等」。

Toggle 全等的一些術語全等

若平面中兩個圖形能完全疊合，則稱這兩個圖形全等。如圖一， $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 能完全重合，因此這兩個三角形全等。

圖一

可是我們不可能每次都把兩個圖形疊起來，這樣太沒效率了！而且也有可能不準，於是我們介紹一些等等會用到的專有名詞。

對應頂點、對應邊以及對應角

若兩三角形全等，則疊在一起的頂點稱為對應頂點，疊合在一起的邊稱為對應邊，疊合在一起的角稱為對應角。如圖一，A與D是對應頂點； $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 是對應邊； $\angle A$ 與 $\angle D$ 是對應角。

符號

在圖一中， $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 全等，我們會用 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 來表示，「 $\cong$ 」唸成「全等於」。

全等的性質三組對應邊相等，如圖一中 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}$ 三組對應角相等，如圖一中 $\angle A= \angle D$ 、 $\angle B= \angle E$ 、 $\angle C= \angle D$ 判斷是否全等的方法

判斷全等的方法有五種，分別是SSS全等性質、SAS全等性質、ASA全等性質、AAS全等性質、RHS全等性質。這裡要注意「S」指的是「邊」，「A」指的是角，非常重要！！！因為光看名字就能知道前四個全等性質是什麼了。像是第一個SSS就是跟三個邊有關、SAS就是兩個邊與一個角、另外ASA與AAS都是兩個角與一個邊、差別在角與邊的相對關係，下面會詳細介紹。而RHS則是最特別，專門用在直角三角形上的。

SSS全等性質

剛剛說到SSS是跟三個邊有關，也就是說：當兩個三角形的三組對應邊相等時，可以確定兩個三角形全等。如圖二， $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 的三組對應邊相等，所以由SSS全等性質可知他們兩個全等。

圖二

可能有些人會問會問：「你怎麼知道他們對應角是不是一樣，會不會疊起來結果角度不一樣呀？」這就是這些全等性質厲害的地方！不用全部的角與邊都檢查過一遍，只要符合「某些條件」就好。而滿足SSS全等性質需要符合的條件就是三組對應邊相等。換句話說，只要三組對應邊相等就能說他們全等，不需要檢查對應角！

SAS全等性質

如法炮製上面所說的，SAS是兩邊跟一角，那麼只要兩個三角形中任意的兩組對應邊相等、一組對應角相等就能說他們兩個全等，對嗎？

很可惜這是有誤的。

眼尖的讀者可能已經發現了，為什麼他不寫ASS，要寫SAS呢？因為邊和角有位置關係，SAS的意思是兩個邊中間夾了一個角，我們要知道兩組對應邊相等、以及這兩邊夾的角相等，才能說他們兩個全等。如圖三，我們知道兩組對應邊相等，以及兩對應邊夾的角相等，所以由SAS全等性質可知他們兩個全等。

圖三

至於有沒有ASS全等性質呢？答案是沒有，我們舉以下例子：

圖四

如果我們已知的相等角不是兩邊的夾角，那麼就無法確定全等。(如圖四，已知 $\angle B= \angle E$ (A)、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ (S)、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}$ (S) ，但是 $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 卻非全等。)

ASA全等性質

看到這邊應該能很好猜出ASA指的是兩個三角形中兩組對應角及其夾邊，如果相等，則全等。

圖五

如圖五，已知 $\angle B= \angle E$ (A)、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ (S)、 $\angle A= \angle D$ (A) ，則利用ASA全等性質可知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

AAS全等性質

AAS指的是：若兩個三角形中兩組對應角及任一非夾邊(即任一個對應角的對邊)相等，兩個三角形就全等。

圖六

如圖六，已知 $\angle B= \angle E$ (A)、 $\angle A= \angle D$ (A)、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}$ (S)，則利用AAS全等性質可知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

(註：下圖也可利用AAS全等性質來說明全等。)

RHS全等性質

當兩個直角三角形的斜邊和一股分別對應相等時，這兩個直角三角形就會全等。(註：「斜邊」是直角的對邊，「股」是直角的臨邊。)(注意！！不是有直角就是RHS，必須是斜邊與一股對應相等。如果是兩股對應相等，那就是SAS全等)

圖七

如圖七，已知 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}$ 、 $\angle C= \angle F=90^\circ$ ，則利用RHS全等性質可知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

光看邊與角的位置關係，其實很像ASS，不過前面說過沒有ASS全等性質，而RHS是ASS的特例，當相等的對應角為直角時，就能確保全等了。

總結

這篇介紹了全等以及判斷全等的方法，只要搭配上一篇：三角形內角與外角，就能做出許多變化的題目了。下面用一張圖來總結所有三角形全等性質。

【本文地址】

國中數學

國中數學

今日新闻

推荐新闻