相似三角形定理 |
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相似三角形定理
一、平行线截比例线段定理
设 ADE 为任何三角形,而线段BC 平行于 DE,则 AB/BD = AC/CE 要证明这个定理,画线段BF 平行于 AE 来形成平行四边形BCEF: 三角形 ABC 和 BDF 有相等的角,所以是相似三角形(为什么?去相似三角形的判定看 AA 的部分。) 边AB 对应边BD,边AC 对应边BF。 所以 AB/BD = AC/BF 而且 BF = CE 所以 AB/BD = AC/CE 角平分线定理
设 ABC 为任何三角形,而AD 平分角BAC,则 AB/BD = AC/DC 要证明这个定理,可以这样标记三角形: 角BAD = 角DAC = x° 角ADB = y° 角ADC = (180 - y)°在三角形 ABD上运用正弦定理: sin x°/BD = sin y°/AB 所以 AB × sin x° = BD × sin y° 所以: AB/BD = sin y°/sin x° 在三角形 ACD上运用正弦定理: sin x°/DC = sin(180 - y)°/AC 所以 AC × sin x° = DC × sin(180 - y)° 所以 AC/DC = sin(180 - y)°/sin x° 因为 sin(180 - y)° = sin y° 所以: AC/DC = sin y°/sin x° 把 AC/DC = sin y°/sin x° 与 AB/BD = sin y°/sin x° 拼合: AC/DC = sin y°/sin x° = AB/BD 所以 AB/BD = AC/DC 如果三角形ABC 是等腰三角形,三角形ABD 和 ACD 便是 全等三角形, 结果是一样的: AB/BD = AC/DC 三、面积与相似若相似三角形的边比例是 x:y, 则它们的面积比例是 x2:y2 例子:这两个相似三角形的边比例是 2:1(一个三角形的边是另一个的两个倍):
那么它们的面积呢? 如果我们多画三条线,答案就浅而易见: 我们可以看到可以有四个小三角形放在大三角形里。 因此,如果长度是两倍,面积便是四倍 面积的比是 4:1 4:1 也可以写成 22:1 一般情况:三角形ABC 和 PQR 是相似的,它们的边比例是 x:y 我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积 ABC 的面积 = ½bc sin A PQR 的面积 = ½qr sin P 三角形长度的比是 x:y q/b = y/x,所以 q = by/x r/c = y/x,所以 r = cy/x 因为是相似三角形,所以角A 和 P 相等: A = P 现在来计算: 三角形PQR 的面积: ½qr sin P 代入 "q = by/x"、"r = cy/x"、"P=A": ½(by/x)(cy/x) sin A 拼合 (by/x) 和 (cy/x): ½(bycy/xx) sin A 简化: ½(bcy2/x2) sin A 重排: y2/x2 × ½(bc) sin A 就是: y2/x2 × 三角形ABC 的面积重排后得到的比例是: 三角形ABC 的面积:三角形PQR 的面积 = x2 : y2 相似 相似三角形 相似三角形的判定 全等 全等三角形 比例中项 三角索引 |
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