地区： 宁　夏 - 固原市 - 原州区

学校：固原市原州区第四中学

12.2　三角形全等的判定 初中数学       人教2011课标版

1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．

2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．

指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．

由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．

前面已经学习了四种三角形全等的判定方法，"SSS","SAS","AAS"和"ASA".对于“SSA"在什么时候成立不知道，在本节课中解决。学生的基础不好，学习兴趣不高。

1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握．

2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．

1．三角形全等的判定方法有哪几种？

2．三角形按角的分类．

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

1．可作为预习内容(投影仪)

如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？

研究这个问题，我们先做一个实验：

把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图)

例1　 已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

画法：(1)画∠MCN=90°如图3-45．

(2)在射线CM上取CB=a．

(3)以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A．

(4)连结AB．

△ABC就是所要画的直角三角形．

此例题着重说明，如此画出的Rt△是唯一的(画出的线与射线CN只有一个交点)．

3．把2中画出的三角形剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

要向学生说明“斜边、直角边”公理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，这是Rt△的特有物质所决定的，对于一般三角形并不成立．这就是说，Rt△是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，以后我们还会遇到它的其它特殊性质．

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．

练习(利用投影仪作练习1、2)

1．具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=90°)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇　 　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：(　　　 )(　　　 )(　　　 )(　　　 )

设计本练习要求学生执果索因，缺什么，找什么，这即可帮助学生熟悉基本定理，又是一种逆向思维的训练．

例2　 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．

证明：(略)．

*讨论(发展思维)

“边边角”与全等三角形的判定．

直角三角形全等的判定 同步练习

重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

难点：

创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

练一练

1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（  ）个

①这两个三角形全等;  ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等;  ④相等的角为直角时全等

A．0    B．1    C．2    D．3

（2）在下列定理中假命题是（  ）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（  ）

A．1：1    B．3：1     C．4：1     D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（  ）

A．∠1∠2         D．不能确定

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（  ）

A．30°        B．60°       C．120°      D．150°

2．解答：

（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF   FB=EC 求证：AB=DE. 

（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC. 

（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F

求证：CE=DF.

小结：

由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

作业：教材P．55中习题3．4A组2、3、4．

12.2　三角形全等的判定

12.2　三角形全等的判定

1．三角形全等的判定方法有哪几种？

2．三角形按角的分类．

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

1．可作为预习内容(投影仪)

如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？

研究这个问题，我们先做一个实验：

把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图)

例1　 已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

画法：(1)画∠MCN=90°如图3-45．

(2)在射线CM上取CB=a．

(3)以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A．

(4)连结AB．

△ABC就是所要画的直角三角形．

此例题着重说明，如此画出的Rt△是唯一的(画出的线与射线CN只有一个交点)．

3．把2中画出的三角形剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

要向学生说明“斜边、直角边”公理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，这是Rt△的特有物质所决定的，对于一般三角形并不成立．这就是说，Rt△是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，以后我们还会遇到它的其它特殊性质．

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．

练习(利用投影仪作练习1、2)

1．具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=90°)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇　 　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：(　　　 )(　　　 )(　　　 )(　　　 )

设计本练习要求学生执果索因，缺什么，找什么，这即可帮助学生熟悉基本定理，又是一种逆向思维的训练．

例2　 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．

证明：(略)．

*讨论(发展思维)

“边边角”与全等三角形的判定．

直角三角形全等的判定 同步练习

重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

难点：

创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

练一练

1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（  ）个

①这两个三角形全等;  ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等;  ④相等的角为直角时全等

A．0    B．1    C．2    D．3

（2）在下列定理中假命题是（  ）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（  ）

A．1：1    B．3：1     C．4：1     D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（  ）

A．∠1∠2         D．不能确定

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（  ）

A．30°        B．60°       C．120°      D．150°

2．解答：

（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF   FB=EC 求证：AB=DE. 

（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC. 

（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F

求证：CE=DF.

小结：

由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

作业：教材P．55中习题3．4A组2、3、4．