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中小学教育资源及组卷应用平台学 科 数学 年 级 八 设计者教材版本 人教版 册、章 上册第十三章课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念13.1.1轴对称活动2：例题活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法活动3：例题活动2：归纳等腰三角形的判定定理活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质13.4课题学习最短路径问题活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法13.3.2.2含30°角直角三角形的性质轴对称活动2：例题活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质13.3.2.1等边三角形的性质13.3.1.2等腰三角形的判定13.3.1.1等腰三角形的性质13.1.2线段垂直平分线的性质13.2.1作轴对称图形13.2.2用坐标表示轴对称活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点活动3：例题活动3：例题活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义活动1：根据北京城区示意图找点活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤活动2：思考如何画轴对称活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点活动3：证明线段垂直平分线的判定活动2：证明线段垂直平分线的性质活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)13.3.2.2含30°角的直角三角形的性质人教版八年级上册教学目标1．探索含30°角的直角三角形的性质．2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．新知导入如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？在 30° 的直角三角形中，探究边长之间的关系.数学抽象新知讲解用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由.新知讲解如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起等到一个等边三角形如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.ABDC30°猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.新知讲解已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 .求证：BC=AB．D倍长法∴BC=AB.　　∴BC=BD.　　∵AC⊥BD,证明1：∵∠C=90 ,∠A=30 ,∴∠B=60 .延长BC到D,使BD=AB,连接AD,则△ABD是等边三角形.ABC新知讲解截半法ABCBC=AB.　　证明2：在BA上截取BE=BC,连接EC.∵∠B=60 ,BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60 ,BE=EC.∵∠A=30 ,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60 -30 =30 .∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.归纳总结在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.该性质的几何语言：在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，　　∴BC=AB．　　ABC该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质.典例精析例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长.解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°∴ BC=AB，DE=AD∴ BC=×7.4=3.7(m)又∵ AD=AB∴ DE=AD=×3.7=1.85(m)答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90 ,∠B=30 ,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(　　)A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm2.如图,∠AOP=∠BOP=15 ,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(　　)A.3 B.2 C.1.5 D.1DC课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，在Rt△ABC 中，∠A = 30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD，则 CD =1，则 AD 的长为_____.4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为_____cm.210课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC ∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°∴CM=AM=7.5cm∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)课堂练习【综合拓展类作业】解:(1)△ABC为等边三角形∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°∴BE=BD=3∴CE=BC-BE=56.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°∴CF=CE=∴AF=AC-FC=课堂练习【综合拓展类作业】解:(2)在△BDE和△CEF中，∴△BDE≌△CEF(AAS)∴BE=CF∵∠CEF=30°∴BE=CF=EC∴BE=BC= ∴BD=2BE=∴AD=AB-BD=8-=∴当AD=时，DE=EF课堂总结内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中板书设计含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.作业布置【知识技能类作业】必做题：1.如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=15°,DE垂直平分AB，交BC于点E,AE=6cm,则AC=( )A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm2.如图,在△ABC中，∠C=60°, AD是BC边上的高,点E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F .若∠AFB=90°, EF=2，则BF长为( )A.4 B.6 C.8 D.10DD3.如图,已知等边△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1,EB1分别交边AC于M、H点,若∠ADM=50 ,则∠EHC的度数为 .4.如图，在△ABC中，AB=BC ,∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1 ,则CD的长度为　 ．作业布置【知识技能类作业】选做题：270 作业布置【综合拓展类作业】证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3EA.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站兼职招聘：https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台分课时教学设计第一课时《13.3.2.2含30°角的直角三角形的性质》教学设计课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口教学内容分析 本节课在学习了轴对称、等边三角形的性质与判定的基础上，探究直角三角形的一条特殊性质，学习含30度角的直角三角形的性质定理，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用，同时也为九年级学习锐角三角函数作了一定的知识储备．学习者分析 学生学习了轴对称图形和等腰三角形、 等边三角形有关知识后学习的，本课学习是对于30°角的直角三角形的性质定理的探索与严密证明，这个性质是解决线段之间倍半关系的重要依据，要求学生探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为30°的性质，体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性，体会数学与实际的密切联系．教学目标 1．探索含30°角的直角三角形的性质． 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．教学重点 探索并理解含30°角的直角三角形的性质.教学难点 含30°角的直角三角形的性质定理的应用学习活动设计教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？ 学生活动1： 学生思考，将实际问题转化成数学问题 在 30° 的直角三角形中，探究边长之间的关系.活动意图说明：提出问题，创设情境，为后面的学习打下基础环节二：新知探究教师活动2： 探究：用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？ 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD=AB学生活动2： : 学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动，猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 活动意图说明：通过操作培养学生从一般到特殊转化的思想．环节三：新知讲解教师活动3： 问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？ 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？ 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.求证：BC=AB.证法①倍长法 证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°∴ ∠B=60°∴ △ABD是等边三角形∵ AC⊥BD，∴ BC=BD ∴ BC=AB 证法②截半法 证明：在BA上截取BD=BC，连接DC.∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC∴ △BCD是等边三角形∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A∴ AD=DC=BD=BC∴ AB=AD+BD=2BC∴ BC=AB 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何符号语言： ∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠C=30° ∴ BC=AB 学生活动3： 学生分析条件和结论，并转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生延长BC 至D，使CD＝BC，连接AD.学生分组讨论证明过程，板书演示．教师指导、纠错． 引导学生归纳含30°角的直角三角形的性质活动意图说明：学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.环节四：典例精析教师活动4： 例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长. 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30° ∴ BC=AB，DE=AD ∴ BC=×7.4=3.7(m) 又∵ AD=AB ∴ DE=AD=×3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 学生活动4： 学生独立思考，举手回答，师生交流活动意图说明：让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系，同样通过边的关系也可以转化为角的关系.板书设计 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90 ,∠B=30 ,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(　　) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 2.如图,∠AOP=∠BOP=15 ,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(　　) A.3 B.2 C.1.5 D.1 3.如图，在Rt△ABC 中，∠A = 30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD，则 CD =1，则 AD 的长为_____. 4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为_____cm. 选做题： 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长. 【综合拓展类作业】 6.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD=2，求AF的长; (2)当AD取何值时，DE=EF 课堂总结作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=15°,DE垂直平分AB，交BC于点E,AE=6cm,则AC=( ) A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm 2.如图,在△ABC中，∠C=60°, AD是BC边上的高,点E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F .若∠AFB=90°, EF=2，则BF长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 选做题： 3.如图,已知等边△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1,EB1分别交边AC于M、H点,若∠ADM=50 ,则∠EHC的度数 为 . 4.如图，在△ABC中，AB=BC ,∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1 ,则CD的长度为　 ． 【综合拓展类作业】 5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3EA.教学反思 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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