数字信号处理

2024-07-16 11:27| 来源: 网络整理| 查看: 265

三角函数的性质

一系列三角函数谐波（harmonic sinusoids）是傅里叶分析的基石，我们可以用这些不同频率的谐波构建各种各样的信号/波形。

谐波（harmonics）：

现在我们选择一个频率为f0的任意频率（arbitrary frequency）的正弦/余弦函数为基波（fundamental frequency）。则有一系列的基于该波的谐波（harmonics），这些谐波的频率都是基波的整数倍，例如，2f0, 3f0, 4f0, 5f0......kf0。

频率为任意频率f0的基波（一对正弦和余弦）:

基于该基波的谐波分量fk = k*f0，k是任意整数：

下图是频率为任意频率f0的基波及其谐波，周期逐级以整数倍递减，频率逐级以整数倍增加。

上图是频率为任意频率f0的基波及其谐波，周期逐级以整数倍递减，频率逐级以整数倍增加。

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下面我们用另外一种方式来重新表示谐波，如下：

之前我们只是通过不同的频率或周期来表示不同的谐波，现在我们还能通过改变振幅（amplitude）和相位（phase）来定义不同的谐波。

幅度（amplitude）：

波的幅度就是信号中高于或低于信号均值的值，幅度可以是正值或负值。如果一个余弦函数的表达式为：a cos（wt），则该余弦曲线的最大值（+1）和最小值（-1）由系数a进行缩放。波形的最高峰值不会超过a，这个系数被称为波的幅度。在上面的两个等式中，ak和bk都是是波的幅度。

相位（phase）：

相位可以理解成波形的起始位置，也可以理解成整个波形的整体移动。例如一个正弦波，当相位为0时，（即，无位移的情况下）他在0点的值是0。若发生了四分之一个周期的位移，即，90度的位移，则他在0点的值是正1。

上图中的一艘军舰遭遇了叠加着三种不同波长/不同频率海浪的拍打！当这些海浪由于相位不同，大部分能量相互抵消，所以大部分时候的海面风平浪静。当这些海浪的相位达到一种相互增强的情况下时，则最终会叠加成一个巨大的海浪(如上图中虚线)。是否会形成这种巨浪取决于这些分量的相对相位！

正交（orthogonality）：

正弦波和余弦波正好差了π/2个相位，即90度。若有两个信号的相位相差-90度或+90度时，则这两个信号被视为是正交的，因此，正弦波和余弦波是相互正交的。

例如，下图中最后一图发生了90度移位的正弦波和余弦波正好重合。

余弦波总是在0点（t = 0）处达到其峰值/最大值，且在此处的相位为π/2。正弦波，不论其频率为多少，在0点（t = 0）处总是为0，且此处的相位为0。因此，不管把多少任意频率，任意幅度的正弦波加在一起，最终的波形在0点处一定还是0。同理，不论把多少各种各样的余弦波加在一起，最终在0点的幅度总不是0。

用不同频率的三角波合成信号

谐波信号的叠加（只改变频率）：

下面我们把上图中，幅度相同，0相位，不同频率的三个正弦波和三个余弦波加在一起。由下图中的实验结果知，三个正弦波/奇函数相加还是奇函数，并且在0点处的值还是0，关于原点中心对称。三个余弦波/偶函数相加的结果还是偶函数，并且在0点处的值还是峰值，关于Y轴镜像对称。最后一幅图是把正弦函数和余弦函数的和相加后的结果，这是信号合成的基础。

上图中的信号合成是用三个整数倍于基波频率f0的正弦谐波和余弦谐波的叠加而成的，请大家回忆一下，本文中一开始讲的基波频率整数倍的谐波，f0, 2f0, 3f0, 4f0.......kf0。上面只是用了3-6个谐波来合成新波形，并且不改变幅度和相位。接下来我们仍旧不改变谐波的幅度和相位，而是增加谐波的数量（增加到12,50个，乃至更多）来合成新的信号。

正弦谐波的叠加（只改变频率）：