三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂) |
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推导前提: 坐标使用右手坐标系,角度逆时针旋转为正。![]() 如右图所示,根据三角函数关系,可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式: x = |OP|•cosα x′ = |OP|•cos(α+β) y = |OP|•sinα y′ = |OP|•sin(α+β) 将P′(x′,y′)表达式展开: x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ 为方便运算理解,我们将二维点旋转表示为矩阵: 以上便是二维坐标点的旋转矩阵,接下来我们来推导三维坐标点的旋转矩阵 二、立体三维坐标点的旋转![]() 1、绕Z轴旋转 参考二维点旋转矩阵同样的推导流程,我们可以推导出来三维点绕Z轴旋转的坐标表达式: x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ z′ = z 为方便运算理解,我们将三维点旋转表示为矩阵: 2、绕Y轴旋转 3、绕X轴旋转 4、绕三轴旋转(先绕x,再绕y,最后绕z轴旋转。) 三轴全旋转矩阵 :
整理计算后表达式为: 注:绕轴旋转的顺序不一样,得到的旋转矩阵也不一样! 综上所推导,得到三维旋转点的对应关系: 旋转矩阵推导过程PDF文档下载 |
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