【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第三章三角函数的图象和性质  

§3-4三角函数的定义域

【01】我们已经知道，对于正弦函数和余弦函数来说，不论角 α 取什么值，sin α 和 cos α 总是有意义的。但是对于其他四个函数来说，就不是这样，例如当 α＝π/2 时，tg π/2 是不存在的。现在我们来研究，在各个三角函数中，角 α 取值的范围究竟是怎样的？

【02】设 P(x，y) 是角 α 终边上的一点，OP 的长为 r  。根据角的正弦的定义，sin α ＝y/r  。不论角 α 的终边在哪里，sin α 总是存在的。因为我们总可以在终边上取一点 P，使 OP 的长 r 不等于零，从而可求出 y/r 的值。由此可知，正弦函数 y＝sin x 的自变量 x 可以取任何实数值。

【03】某一个函数的自变量可以取的值的全体，叫做这个函数的定义域。例如，正弦函数的定义域是一切实数。

【04】同样，根据余弦的定义 cos α ＝x/r，可以知道余弦函数的定义域也是一切实数。

【05】根据定义，tg α ＝y/x  。当 α ＝π/2 或者 3π/2 时，终边上任意一点的横坐标等于零，所以角 α 的正切不存在。我们还知道，和 π/2 终边相同的一切角是 2nπ＋π/2，和 3π/2 终边相同的一切角是 2nπ＋3π/2＝(2n＋1)π＋π/2，这里 n 是任意整数。这些角的正切当然也不存在。因此，正切函数的定义域是除掉 2nπ＋π/2 和 (2n＋1)π＋π/2 以外的所有实数。注意 2n 是偶数，2n＋1 是奇数。任意整数不是偶数就是奇数。这样，我们还可以说得简单些，正切函数的定义域是除掉 kπ＋π/2 以外的所有实数，这里 k 表示任意整数。

【06】同样，从余切函数的定义 ctg α＝x/y，可以知道，当 α＝0 和 α＝π 的时候，由于终边上任意一点的纵坐标等于零，角 α 的余切不存在。和这些角的终边相同的角 2nπ 和 2nπ＋π＝(2n＋1)π 的余切也不存在。所以余切函数的定义域是除掉 2nπ 和 (2n＋1)π 以外的所有实数，或者简单地说成除掉 kπ 以外的所有实数。

【07】在研究任何一个函数的变化性质以前，首先要明确它的定义域。因为只有当自变量取它可以取的值时，才可以研究函数值的变化。反过来说，如果自变量所取的值不在定义域内，那末函数值根本不存在，当然谈不到函数值的变化了。

例1.求函数 tg (x/2) 的定义域。

【解】

【08】根据正切函数的定义域，可以知道，x/2 ≠ nπ＋π/2，

【09】就是 x ≠ 2nπ＋π，x ≠ (2n＋1)π  。

【10】所以函数 tg (x/2) 的定义域是除去 (2n＋1)π 以外的全体实数，这里 n 是整数。

例2.x 在什么条件下，恒等式 sin x cosec x＝1 能够成立？

【解】函数 sin x 的定义域是全体实数，但是函数 cosec x 的定义域是除去 nπ 的全体实数。所以这个恒等式只有当 x ≠ nπ 时才能成立，这里 n 是整数。

1、求下列各函数的定义域：

2、x 在什么条件下，下列各恒等式才能成立？

3、设 α＝π/2，下列各诱导公式哪些是正确的？哪些失效？

【

】