很多同学刚接触不定积分，对置换积分， 分部积分以及积分常数C不是很了解。有个很好的例子，帮助大家理解。

不定积分\int \sin2x dx的几种算法

解法1 （置换积分法）

先令 t=2x ,则有\frac{dt}{ dx}=2,即dx=\frac{dt}{2}

下面开始置换（把原式里的所有 x 置换成 t ）

原式=\int \sin t \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int \sin tdt=-\frac{1}{2}\cos t+C

再把 t 还原成 x 得到结果 -\frac{1}{2} \cos 2x+C

这里注意 dx 和 dt 区别，如果熟练了可以直接这么算：

原式=\int \sin 2x \frac{d(2x)}{2}=\frac{1}{2}\int \sin 2xd(2x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C

下面介绍别的解法:

利用公式\sin2x=2\sin x\cos x

置换积分法2

先做准备工作。设y=\sin x 则有\frac{dy}{dx}=\cos x,即dy=\cos xdx=d(\cos x)

把这个结果带入上式，可得 \int \sin 2xdx={2}\int\sin x \cos xdx=2\int \sin xd(\sin x)

注意上式，被积分函数\sin x 和微分d(\sin x)，容易得出结果2\times\frac{\sin^ 2 x}{2}+C=\sin^2x+C

注意这个结果和上个结果并不相同，思考一下谜底在哪里？

那么同样，如果设 y=\cos x 则可以得到\int \sin 2xdx=\cdot\cdot\cdot省略\cdot\cdot\cdot=-\cos^2 x+C

解法3（分部积分法）

通过三角函数倍角公式 \int \sin 2xdx ={2}\int\sin x \cos xdx={2}\int\sin x( \sin x)^{'}dx

再用分部积分可得 \int \sin 2xdx=2\int\sin x (\sin x)^{'} dx=2\{\sin x\sin x-\int\sin x(\sin x)^{'}dx\}=2\sin ^2x-2\int\sin x (\sin x)^{'} dx

注意观察这个式子，等号的两边有同项，移项除系数可算出结果

\int \sin 2xdx=\sin ^2x+C

那么同理

\int \sin 2xdx={2}\int\sin x \cos xdx={2}\int\cos x( -\cos x)^{'}dx=\cdot\cdot\cdot省略\cdot\cdot\cdot=-\cos^2x+C

好，我们用几种方法分别得到下面三个结果：

-\frac{1}{2} \cos2x+C

\sin^2x+C

-\cos^2x+C

大家可以试着对这三个式子分别求导，结果都是 \sin 2x 。 因此几个结果都是正确的。

为什么会有这种现象呢，因为原函数不止一个。

这里面的积分常数C，指的是任意实数，而并不是某一个具体的数字。因此这三个结果可以通过三角函数的等式

\sin ^2x+\cos ^2x=1\\ \cos 2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x

互相转化。

第一次在知乎上发表文章，有很多需要改进的地方，希望大家提出来以便我改正。

本人长期以来专业从事日本留学考试（EJU），以及日本各大名校的校内考试的物理·数学科目的教学指导工作，欢迎有需要的同学们联系我，以及同行之间的互相交流。