名称

主要容

不

疋

设

f(x) 

, 

x I

，若存在函数

F(x)

，使得对任意

x I

均有

F (x) f(x) 

积

分

或

dF(x) 1 

『

(

x)dx

，则称

F(x)

为

f(x)

的一个原函数。

的

概

f (x)

的全部原函数称为

f (x)

在区间

1

上的不定积分，记为

念

f (x)dx F(x) C 

注：

(

1

)

若

f(x)

连续，则必可积；

(

2

)

若

F(x),G(x)

均为

f (x)

的原函数，贝

U 

F(x) G(x) C

。故不定积分的表达式不唯一。

性

性质

1

:

―

f (x)dx 

f (x)

或

d f (x)dx 

f (x)dx 

;

质

dx 

不

性质

2

: 

F 

(x)dx F(x) C 

或

dF(x) F(x) C 

;

疋

积

性质

3

:

[ 

f (x) 

g(x)]dx 

f (x)dx 

g(x)dx

,

,

为非零常数。

分

计

第一换元

设

f (u)

的

原函数为

F(u) 

, 

u 

(x)

可导，则有换元公式：

算

方

积分法

f( (x)) (x)dx f( (x))d (x) F( (x)) C 

法

(

凑微分

法

)

第二类

换元

积

分法

设

x 

(t)

单调、可导且导数不为零，

f[ (t)] (t)

有原函数

F(t) 

, 

则

f(x)dx 

f( (t)) (t)dt F(t) C F( 

1

(x)) C 

分部积分

法

u(x)v (x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 

有理函数

若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真

积分

分式的处理按情况确定。

本章

在下

-

章定积分中由微积分基本公式可知

---

求定积分的问题，实质上是求被积函数

的地

的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最

位与

终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。

作用

从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会

不会求解及

求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学

习的深入，同学们会慢

慢体会到！

课后习题全解