在上一期中文章中我们推导出了所有三角函数与反三角函数复合的解析式，并在最后用三张图片汇总了起来，没有看过上一期文章的观众可以点此前往观看探寻6个三角函数与6个反三角函数复合的解析式(1)，本期将在上一期的基础上继续探寻一些有趣的性质。

在这里，我先把上期汇总过的三张图重现一下。

我用蓝线把解析式相同的连接了起来。那么可能就会有观众要疑惑了，为什么明明是不同的函数在复合，最后却能得到相同的解析式呢？这是因为有以下三个等式成立，，换句话说，就是反正弦与反余弦、反正切与反余切、反正割与反余割，他们之间都呈现出互余的关系。而我们知道，如果两个角之间是互余的关系，就会有，，这三个公式成立，因此这就造成了上面三个图用蓝线连起来的解析式相同，这就是最本质的原因。那么接下来，我们来证明一下，为什么会成立，其余两个等式也是利用同样的方法，因此就不再赘述，感兴趣的观众可以自己动手证明。

我们设，，问题也就转化成了要证明m和n是互余的。这里要注意m和n的取值范围，，，那么根据反函数的性质，就有，，而，上面我们提到过m的取值范围，那么，。而我们知道余弦函数在区间上是单调递减的，呈现出单调性，也就是说在这个区间上一个y值只对应一个x值，而和刚好都在这个区间上，他们的余弦值又相等，那么这就有成立，因此m和n是彼此互余的关系也就证明出来了。

最后，我们再来看看上期推导出的这些解析式在积分当中的应用。首先先跟大家介绍一个公式啊，是我在youtube上一个叫黑笔红笔的博主那边学到的。公式是这么说的，设与互为反函数，是的原函数，现在如果要对求不定积分，那么有，下面我们先对这个公式做一个证明。设，根据反函数的性质有，那么，于是

最后再将代回到上式，变成。

说到这也许还是有些抽象，下面我举几个例子来解释一下。现在如果要对反正弦函数进行求导，那么，他的反函数，的原函数，如果我们直接带入上面的公式，那么就有。接着再用其他方法来验证一下这个结果是否正确

我采用的是分部积分法的方式，可以看到结果是一样的。

再比如现在如果我们要对反正切函数求导，那么，他的反函数，的原函数，直接代入上述公式有

而如果采用分部积分法的方式，结果也是一样的。

（注意：

至于其他的反三角函数，大家也可以自己动手计算，大体步骤就是先找出他的反函数以及反函数的原函数，代入公式后，再用分部积分法来验证是否正确，因为过程相似，这里就不一一列举了，感兴趣的观众可以动手计算。