输电线数学模型的建立 4．1．1  输电线数学模型 （一）．输电线路的方程式 设有长度为L的输电线路，其参数沿线均匀分布，单位长度的阻抗和导纳分别为。在距末端x处取一微段dx，可做出等值电路图。在正弦电压作用下处于稳态时，电流在dx微段阻抗中的电压降                             或                                                （4-1） 流入dx微段并联导纳中的电流                          略去二阶微小量，便得                                                  （4-2） 将式（4-1）对x求导数,并计及式（4-2），便得                                       （4-3） 上式为二阶常系数齐次微分方程式，其通解为                                                   （4-4） 将式（4-4）代入（4-1），便得                                                  （4-5） 式中，和是积分常数，应由边界条件确定。                                  （4-6）                                  （4-7） 称为线路的传播常数，因为和的幅角均在的范围内，故的幅角也在之间，由此可知和都是正的。称为线路的波阻抗（或特性阻抗）。和都是只与线路的参数和频率有关的物理量。 对于高压架空输电线                        （4-8）                       （4-9） 由上式可见，架空线的波阻抗接近于纯阻抗，而略呈电容性。略去电阻和电导时和，便有                                                （4-10）                                                   （4-11） 单导线架空线的波阻抗约为370-410；分裂导线的波阻抗则为270-310。电缆线路由于其较大又较小，波阻抗约为30~50。 长线方程稳态解（4-4）和（4-5）中的积分常数和可由线路的边界条件确定。当x=0时，和，由（4-4）和（4-5）式可得                            由此可以解出                                                （4-12） 将和代入式（4-4）和（4-5）便得                         （4-13） 上式可利用双曲线函数写成                                           （4-14） 当x=时，可得到线路首端电压和电流与线路末端电压和电流的关系如下                                           （4-15） 将上述方程同二端口网络的通用方程                                                  （4-16） 相比较，若取和，输电线就是对称的无源二端口网络，并可用对称的等值电路来表示。 （二）．输电线的集中参数等值电路 方程式（4-15）表明了线路两端电压和电流的关系，它是制订集中参数等值电路的依据。型和T型电路均可作为输电线的等值电路，型电路的参数为                                          （4-17） T型电路的参数为                                                     （4-18） 实际计算中大多采用型电路代表输电线，现在对型电路的参数计算作进一步的讨论。由于复数双曲线函数的计算很不方便，需要作一些简化。 令和分别代表全线的总阻抗和总导纳，将式（4-17）改写为                                                   （4-19） 式中                                                        （4-20） 由此可见，将全线的总阻抗Z和总导纳Y分别乘以修正系数和，便可求得型等值电路的精确参数。 实际计算中常略去输电线的电导，并利用下列简化公式计算参数。                                                 （4-21） 式中                                      （4-22） 在计算型等值电路的参数时，可以将一段线路的总阻抗和总导纳作为参数的近似值，也可以按公式（4-21）对近似参数进行修正，或者用公式（4-17）计算其精确值。近似参数的误差随线路长度而增大，相对而言，电阻的误差最大，电抗次之，电纳最小。参数的修正值同精确值的误差也是随线路长度而增大，但是修正后的参数已非常接近精确参数，可见修正计算的效果十分显著。此外，即使线路的电导为零，等值电路的精确参数中仍有一个数值很小的电导，实际计算时可以忽略。

4．1．2  输电线模型建立 1．首先在“master library”中找到[Tline]双击可出现：             图4-1  输电线接口图

                        图4-2 输电线配置图 2．再按照说明书把它们拼接在一起，如下：

图4-3 输电线整体图 3．进行参数设置 双击出现对话框                                                图4-4 输电线设置窗口 修改长度。 再单击右键出现                                                图4-5 输电线编辑菜单图 按图操作，会出现如下                                  图4-6 输电线阻抗设置图 设置阻抗，并加设塔如下                                              图4-7 输电线内部构成图 则完成输电线模型建立。 4．2 同步发电机数学模型的建立 4．2．1  同步发电机数学模型 表示同步电机的电压、电流、磁链等电磁量与转矩、转速等机械量之间相互关系的数学表达式。它是进行同步电机及电力系统动态分析的基础。电力系统常用的同步电机数学模型由同步电机的电路方程及转子运动方程两部分组成。同步电机电路方程又分为基本方程和导出模型两类。同步电机基本方程表示电压、电流与各绕组磁链之间以及转矩与电流、磁链之间的关系；导出模型为在一定假设条件下，以电动势替换磁链，表示电压、电流与电动势之间的关系。转子运动方程表示转矩与转速之间的关系。同步电机电路方程可以用不同的坐标系统来表示，其中最常用的是dq0坐标系统。 （一）主要假设条件 建立同步电机基本方程时，设同步电机为理想电机，即忽略饱和等非线性现象以及假定电枢绕组是正弦分布的。 1．忽略饱和及其他非线性现象是假定所有磁通都与产生它的电流成正比，因而可以应用叠加原理，即任何一个线圈中的电流单独创立一个磁通式，并产生一个磁通分量。这部分磁通在该线圈或任何其他线圈中感应产生电压。根据叠加原理，可以将任一线圈中的所有电压分量叠加起来，得到该线圈的合成电压。所有的电压线圈方程和转矩方程联立，即为电机的基本方程。 2．假定电枢绕组是正弦分布的，因而绕组中的电流在电机中不产生空间谐波磁通势。还假定空间基波磁通势由于磁路磁组不均匀所产生的谐波磁通也不在绕组中感应任何电压。这使得电机内部物理过程的描述变得简单。 （二）同步电机坐标系统 在分析电机的各种运行方式时，为简化计算方法与提高计算精度，需利用一些数学变换将实际绕组中的电磁量转换为另一表达形式的电磁量，与这些表达形式相对应的坐标构成同步电机坐标系统。 1．坐标系统的种类 已得到应用的坐标系统有①相对于定子静止的abc坐标系统、坐标系统，120坐标系统；②与转子转速相同的dq0坐标系统、FB0坐标系统；③与旋转磁场转速相同的坐标系统、坐标系统等。其中，abc坐标系统的轴线分别与三相绕组轴线一致；dq0坐标系统的d轴（直轴）与转子磁场方向一致，q轴（交轴）与d轴相差90°电角度。由于dq0坐标系统具有使电机电路方程中的参数恒为常数，方程简化，适合多机系统模型等优点，电力系统分析与计算中最广泛采用dq0坐标系统。 2．坐标系统的变换 为简化计算而作的纯数学变换如经典派克变换即在一定的正方向规定下定子电流dq0分量与abc分量之间的关系为        （4-23）                                         电压向量与之间及磁链向量和之间的关系式与式（4-23）的关系相同，即它们具有相同的变换系数矩阵。式中为顺着正常方向旋转d轴领先a轴的空间电角度。这种变换不是唯一的。为使变换前后相应物理量幅值相等，在变换中加入因子，但变换前后功率不守恒，即                                  （4-24） 这时，功率                                           （4-25） 为满足功率守恒条件，电力系统常用正交派克变换，即                （4-26）  其他坐标系统之间的变换，可用类似方法进行。 （三）同步电机电路方程 分为基本方程和导出模型两类，其复杂程度由模型阶次、求解问题要求和假设条件所决定。不同的情况有不同的表达式。 1．派克方程 用dq0坐标系统表示的同步电机基本方程。假定：①转子d轴有两个绕组，g、D和Q均为等效阻尼绕组。②定、转子对应轴上的每两个绕组间的互感相等。③正方向这样规定，即定子诸量采用发电机惯例，q轴超前d轴90°。④采用标幺值系统。可列出派克方程为                                            （4-27）                                                 （4-28）                                              （4-29） 它们是由式（4-27）电压方程、式（4-28）磁链方程和式（4-29）电磁转矩方程构成。式（4-26）中p代表算子。 2．导出模型 派克方程通过引入其他假定，进行简化，得到导出模型。假定：①认为绕组D和Q的时间常数比绕组f 和g的时间常数小得多，因此可以认为超瞬态过程主要取决于绕组D和Q，瞬变过程取决于绕组f和g；②忽略定子回路的暂态，即设定子电压方程中；③设定子电压方程中。定义 励磁电动势                                               （4-30） d轴瞬变电动势                                               （4-31） d轴超瞬态电动势                               （4-32）  q轴瞬变电动势                                                   （4-33）  q轴超瞬变电动势                               （4-34）  可列出六阶导数模型为                           （4-35） 3．简化模型 上述六阶导出模型在不同假设条件下，可以得到进一步简化。电力系统分析与计算常用的有五阶模型、四阶模型、三阶模型和恒定模型及经典二阶模型等4种。 （1）五阶模型 当只考虑f、D和Q绕组的电磁暂态，忽略q轴g绕组的瞬变效应，则六阶模型简化为五阶模型，即                           （4-36） （2）四阶模型 当在q轴转子上计及瞬变过程对应的g绕组，但q、d轴转子忽略与超瞬变过程对应的D、Q绕组时，五阶模型简化为四阶模型，即                           （4-37） （3）三阶模型 当忽略g、D和 Q绕组的暂态时，则四阶模型简化为三阶模型，即                                （4-38） （4）恒定模型及经典二阶模型。 当进一步忽略f绕组的电磁暂态过程，令，即=常数，计及凸极效应，则三阶模型简化为恒定模型，即                                （4-39） 若进一步忽略凸极效应，即设，后的暂态电动势′幅值恒定，则化为经典二阶模型，即                                             （4-40） 其中，。 4．模型阶次选择 在电力系统分析和计算中，需要比较精确地分析系统和电机的动态过程时，隐极机常采用六阶或四阶模型，凸极机常采用五阶模型；多机系统的分析和计算中常采用三阶或恒定模型；电力系统规划中，常采用经典二阶简化模型。 （四）转子运动方程 同步电机的转子运动方程为                                    （4-41） 式中为机械角速度，rad/s；J为机组转动惯量，；为机械转矩，；为电磁转矩；D为机械阻尼系数；为额定机械角速度。 运动方程改用电角速度及电角速度为变量时，相应的标幺值形式运动方程为                                      （4-42） 式中为机组惯性常数；为转子q轴与以同步速旋转的坐标实轴之间的夹角。 4．2．2  同步机模型建立 1．发电机模块                                                      图4-8 同步发电机                  图4-9  励磁系统 设置参数 2．原动机模块                                                  图4-10 水轮机                     图4-11 转速控制 设置参数 3．把它们连在一起                                         图4-12  同步发电机完整图 同步发电机模型完成。 4．3  变压器数学模型的建立 4．3．1  变压器数学模型 （一）变压器的等值电路 电力系统中使用的变压器大多数是做成三相的，容量特大的也有做成单相的，但使用时总是接成三相变压器组。 在电力系统计算中，双绕组变压器的近似等值电路常将励磁支路前移到电源侧。在这个等值电路中，一般将变压器二次绕组的电阻和漏抗折算到一次绕组侧并和一次绕组的电阻和漏抗并和，用等值阻抗来表示。对于三绕组变压器，采用励磁支路前移的星型等值电路，图中的所有参数值都是折算到一次侧的值。 自耦变压器的等值电路与普通变压器的相同。 （二）双绕组变压器的参数计算 变压器的参数一般是指其等值电路中的电阻、电抗、电导和电纳。变压器的变比也是变压器的一个参数。 变压器的前四个参数可以从出厂铭牌上代表电气特性的四个数据计算得到。这四个数据是短路损耗、短路电压、空载损耗，空载电流。前两个数据由短路实验得到，用以确定和；后两个数据由空载试验得到，用以确定和。 1．电阻 变压器作短路试验时，将一侧绕组短接，在另一侧绕组施加电压，使短路绕组的电流达到额定值。由于此时外加电压较小，相应的铁耗也小，可以认为短路损耗即等于变压器通过额定电流时原、副方绕组电阻的总损耗，即，于是                                              （4-43） 在电力系统计算中，常用变压器三相额定容量和额定线电压进行参数计算，故可把式（4-43）改写为                                         （4-44） 式中，的单位为kW，的单位为，的单位为kV。 2．电抗 当变压器通过额定电流时，在电抗上产生的电压降的大小，可以用额定电压的百分数表示，即                      因此                         （4-45） 式中，的单位为。 变压器铭牌上给出的短路电压百分数，是变压器通过额定电流时在阻抗上产生的电压降的百分数，即                                       对于大容量变压器，其绕组电阻比电抗小得多，可以近似地认为，故                                  （4-46） 3．电导 变压器的电导是用来表示铁芯损耗的。由于空载电流相对于额定电流来说是很小的，绕组中的铜耗也很小，所以，可以近似认为变压器的铁耗就等于空载损耗，即，于是                               （4-47） 式中，和的单位均为KW    ；的单位为S 4．电纳 变压器的电纳代表变压器的励磁功率。变压器空载电流包含有功分量和无功分量，与励磁功率对应的是无功分量。由于有功分量很小，无功分量和空载电流在数值上几乎相等。根据变压器铭牌上给出的，可以算出                            （4-48） 式中，的单位为S。 5．变压比 在三相电力系统计算中，变压器的变压比通常是指两侧绕组空载线电压的比值，它与同一铁芯柱上的原、副方绕组匝数比是有分别的。对于Y，y和D，d接法的变压器，。 根据电力系统运行调节的要求，变压器不一定工作在主轴上，因此，变压器运行中的实际变比，应是工作时两侧绕组实际抽头的空载线电压之比。 （三）三绕组变压器的参数计算 三绕组变压器等值电路中的参数计算原则与双绕组变压器的相同，下面分别介绍各参数的计算公式。 1．电阻 为了确定三绕组的等值阻抗，需要有三种短路试验的数据。三绕组变压器的短路试验是依次让一个绕组开路，按双绕组变压器来做的。若测得短路损耗分别为，则有                            （4-49） 式中，，，分别为各绕组的短路损耗，于是                               （4-50） 求出各绕组的短路损耗后，便可导出与双绕组变压器计算相同形式的算式，即                                        （4-51） 式中，R的单位为 上述计算公式适用于三个绕组的额定容量都相等的情况。各绕组额定容量相等的三绕组变压器不可能三个绕组同时都满载运行。根据电力系统运行的实际需要，三个绕组的额定容量，可以制造不相等。我国目前生产的变压器三绕组的容量比，按高、中、低压绕组的顺序主要有 100/100/100、100/100/50、100/50/100三种。变压器铭牌上的额定容量是指容量最大的一个绕组的容量，也就是高压绕组的容量。公式（4-51）中的、、是指绕组流过与变压器额定容量相对应的额定电流时所产生的损耗。做短路试验时，三个绕组容量不相等的变压器将受到较小容量绕组额定电流的限制。因此，要应用式（4-50）及式（4-51）进行计算，必须对工厂提供的短路试验的数据进行折算。若工厂提供的试验值为，且编号1为高压绕组，则                                  （4-52） 顺便指出，对于三绕组变压器制造厂家也有可能只提供一个最大短路损耗，它指的是两个100%容量的绕组通过额定电流，另一个绕组空载时的损耗。依据变压器设计中按电流密度相等选择各绕组导线截面积的原则，利用这个数据可以确定额定容量的绕组的电阻为                                             （4-53） 若另一个绕组容量为    ，则其电阻为                         （4-54） 式中，R的单位为。 2．电抗 和双绕组变压器一样，近似地认为电抗上的电压降就等于短路电压。在给出短路电压后，与电阻的计算公式相似，各绕组的短路电压分别为                             （4-55） 各绕组的等值电抗为                                    （4-56） 3．导纳及变比 三绕组变压器的导纳和变比的计算与双绕组变压器相同。 （四）自耦变压器的参数计算 自耦变压器的等值电路及其参数计算的原理和普通变压器相同。通常，三绕组自耦变压器的第三个绕组（低压绕组）总是接成三角形，以消除由于铁芯饱和引起的三次谐波，并且它的容量比变压器的额定容量（高、中压绕组的通过容量）小。因此，计算等值电阻时要对短路试验的数据进行折算。如果由于由手册或工厂提供的短路电压是未经折算的值，那么，在计算等值电抗时，也要对它们先进行折算，其公式如下：                                         （4-57） （五）变压器的型等值电路 变压器采用如图所示的等值电路时，计算所得的副方绕组的电流和电压都是它们的折算值（即折算到原方绕组的值），而且与副方绕组相接的其它元件的参数也要用其折算值。在电力系统实际计算中，常常需要求出变压器副方的实际电流和电压。因此，可以在变压器等值电路中增添只反映变比的理想变压器。所谓理想变压器就是无损耗、无漏磁、无须励磁电流的变压器。双绕组变压器的这种等值电路如图。图中变压器的阻抗是折算到原方的值，是变压器的变比，和是副方的实际电压和电流。如果将励磁支路略去或另作处理，则变压器又可用它的阻抗和理想变压器相串联的等值电路如图表示。这种存在磁耦合的电路还可以进一步变换成电气上直接相连的等值电路。

图4-13 带有变比的等值电路图

                        图4-14 无励磁支路等效图

                        图4-15 等效成阻抗电路图                                  图4-16 等效成导纳电路图 由图4.14可以写出                                           （4-58） 由上式可解出                         （4-59） 若令，则式（38）又可写成                         （4-60） 与公式（4-59）和（4-60）相对应的等值电路图为4.15和4.16。 变压器的型等值电路中三个阻抗（导纳）都与变比k有关，型的两个并联支路的阻抗（导纳）的符号总是相反的。三个支路阻抗之和恒等于零，即它们构成了谐振三角形。三角形内产生谐振环流，正是这谐振环流在原、副方间的阻抗上（型的串联支路）产生的电压降，实现了原、副方的变压，而谐振电流本身又完成了原、副方的电流变换，从而使等值电路起到变压器的作用。 变压器采用型等值电路后，电力系统中与变压器相接的各元件就可以直接应用其参数的实际值。在用计算机进行电力系统计算时，常采用这种处理方法。 4．3．2  变压器模型的建立 1．首先在“master library”中找到[Transformers]双击出现多种变压器，选三相的。如下图：                   图4-17 两绕组变压器                  图4-18 三绕组变压器  2．双击出现对话框进行参数设置                   图4-19 变压器参数设置窗口 变压器模型建立完成。 4．4 电力系统数学模型的建立 4．4．1  电力系统数学模型 电力系统由各个元件组成；同步发电机及其励磁系统、原动机、调速器、变压器、输电线路、负荷等。电力系统的数学模型就是由这些元件的数学模型（见同步电机数学模型、励磁系统数学模型、原动机和调速系统数学模型）组成的。电力系统及其各种元件都有许多繁简不一的数学模型，应该根据研究课题选用。由于被研究的电力系统的规模大小不同、受到的扰动的种类不同、研究的时间段不同（短期、中期或长期）、侧重的振荡频率不同（高频振荡或低频振荡），选用的数学模型都将不同。例如，大扰动时应采用非线性微分方程式；小扰动时应采用线性微分方程式。不计网络暂态时，网络方程可写成代数方程；计及网络暂态时，网络方程要写成微分方程。考虑波过程时，网络模型可以是集中参数的。同步发电机的数学模型有许多种，既有低阶的，又有高阶的，也要根据研究问题选用。电力系统数学模型的一般形式可以写成                                                （4-61） 式（4-61）中X为状态变量；Y为运行变量。在研究电力系统控制问题时也可以把模型写成                                                （4-62） 式（4-62）中X为状态变量；Y为输出变量；U为控制变量。 4．4．2  电力系统模型的建立 1．首先在“master library”中找到[Sources]双击出现许多种电力系统，选如下图                                                   图4-20 电力系统模型图 2．双击并修改参数                                     图4-21 电力系统参数设置 电力系统模型建立完成。