对这一证明过程的理解能让我们对三段论系统有更深的认识。而且对于那些从三段论分析的复杂性中获取乐趣的人而言，这应是一种虽有难度但令人愉悦的挑战。

直言三段论的15个有效形式的演绎推导过程并不非常容易理解，我们必须对以下两点非常明确： 第一点：三段论的规则 6.4中阐述的六条基本规则是演绎推导的必要工具。 第二点：三段论的四个格

我们已经知道有256个可能的三段论形式，在每个格中有64个式通过排除违反了三段论基本规则即无效的三段论，我们来进行15个直言三段论有效形式的证明。 任何一个三段论的结论都是一个直言命题，是A、E、I、O之一。根据结论的不同形式（即A、E、I、O），我们首先把三段业务学习的所有可能形式分为四组。任何一个三段论都必然属于这四组中的某一组。据此可以分四种情形考察一个有效的三段论需要具备什么特性，即可以这样提问：如果结论是A命题，通过某一条或者几条规则能够排除什么形式；如果结论是E命题可以排除什么形式，依此类推。下面我们就逐个进行考察。

排除了所有无效三段论之后，留下来的就是有效的三段论形式。

在这种情况下，前提不可能是 E 命题，也不可能是 O 命题，因为如果前提为否定命题的话，结论就应该是否定的（规则5）。所以，两个前提必定是 A 命题或 I 命题。 小前提不能是I命题，因为小项（结论的主项，也就是一个A命题的主项）在结论中是周延的，如果小前提是 I 命题 ，那么在前提中不周延的项在结论中周延，违反了规则3。 两个前提，即大前提和小前提，不能是 I 和 A，因为如果是的话，有两种可能，或都是在结论中周延的项在前提中不周延，违反规则3，或者是中项两次不周延，违反规则2。所以两个前提（结论是A命题时）必须都是 A 命题。这意味着唯一有效的形式是 AAA 式。 对于AAA式，第二格的 AAA-2 式会使中项两次不周延，第三格 AAA-3 和第四格 AAA-4 都会造成前提中不周延的项在结论中周延的错误。所以，如果三段论的结论是 A 命题，唯一的有效开式就是第一格的 AAA 式，即 AAA-1，传统上称这个有效形式为Barbara。

情形 1 总结：如果三段的结论是 A 命题，只能有一个有效式 AAA-1——Barbara。

E 命题的主项和谓项都是周延的，因此，如果结论为 E 命题，三段论前提中的三个项也都必须至少周延一次（根据规则2、3），这只有当前提之一也是 E 命题时才有可能。但不能两个前提都是 E 命题，因为不能允许两个否定前提（规则4），同理可知另一个前提也不能是 O 命题。另一个前提也不能是 I命题，否则在结论中周延的项在前提中不周延，违返规则3。这样，另一个前提必须是 A 命题，两个前提的组合可能是 AE 或 EA。因此，在结论是 E 的情况下，可能的正确形式为 AEE 或 EAE。 如果是AEE式，它不能是第一格，也不能是第三格。因为如果是这两个格的话，结论中周延的项在前提中不周延。所以，有效的 AEE 式只能是第二格，即 AEE-2（传统上称为Camestres），或者是第四格的，即 AEE-4 （传统上称为Camenes）。 如果是 EAE 式，它不能是第三格，也不能是第四格，因为那也都导致结论中周延的项在前提中不周延。所以，有效的 EAE 式只能或者是第一格的，即 EAE-1（Celarent），或者是第二格的，即 EAE-2 （传统上称为Cesare）。

情形 2 的总结：如果三段论的结论是 E 命题，只能有四个有效形式：AEE-2——Camestres、AEE-4——Camenes、EAE-1——Celarent、EAE-2——Cesare。

在这种情形下，前提不能是 E 或 O 命题，因为如果有一个否定前提的话，结论也应该是否定的。两个前提也不能都是 A 命题，因为结论为特称的三段论其前提不能都是全称的（规则6）。同样的，两个前提不能都是 I 命题，因为中项必须至少在一前提中周延（规则2）。这样，前提的结合必须是 AI 或者 IA，因而结论为 I 命题的三段论可能的有效式为 AII 和 IAI。 如果是 AII式， 在第二格和第四格中不可能有效，因为中项至少要周延一次。因此保留下来的 AII 式就是 AII-1（Darii）和 AII-3 （Datisi）。 如果是 IAI 式，它不能是 IAI-1 和 IAI-2， 因为这两个形式违反中项至少在一个前提中周延的规则。剩下的有效形式就是 IAI-3（Disamis）和 IAI-4 （Dimaris）。

情形 3 总结：如果三段的结论是 I 命题，只能有四个有效形式：AII-1——Darii、AII-3——Datisi、IAI-3——Disamis、IAI-4——Dimaris。

在这种情形下，大前提不能是 I 命题，因为结论中击延的项在前提中也必须周延。所以大前提可能是 A 命题、E 命题、O 命题。 假设大前提为 A 命题。这样，小前提就不能是 A 命题和 E 命题，因为结论为特称时，前提不能都是全称的（规则6）。小前提也不能是 I 命题 ，如果小前提是 I 命题，就违反了中项一次也不周延（违反规则2），或者结中周延的项在前提中不周延。因此，如果大前提是 A 命题，小前提必须是 O 命题，结果就是 AOO式。对于 AOO式，在第一格和第三格不可能有效，因为结中周延的项（P）在前提中不周延。在第四格，AOO 式不可能有效，因为中项两次不周延。因此在前提是 A 命题时，AOO 式保留下来的有效形式只有第二格 AOO-2（Baroko）。 再假设大前提是 E 命题。在这种情况下，小前提将不能是 E 命题或 O 命题，因为不允许两个否定前提（规则4）。小前提也不能是 A　命题，因为结论如果特称的，前提就不能是两个全称的（规则６）。而剩下的EIO 式四个格都是有效的。因此，当大前提是 E 命题时，有效式有四个分别是 EIO-1——Ferio、EIO-2——Festino、EIO-3——Ferison、EIO-4——Fresison。 最后，假设大前提是 O 命题。同样小前提不能是 E命题和 O 命题，因为不允许出现两个否定前提（规则4）。小前提也不能是 I 命题，因为如果小前提是 I 命题的话，就会出现或者中项一次都不周延，或者结论中周延的项在前提中不周延。因此，如果大前提是 O 命题，小前提必须是 A 命题，即必为 OAO式。对于 OAO式，第一格 OAO-1 中项两次都不周延，第二格和第四格都会使结论中周延的项在前提不周延。于是只剩下一个有效形式 OAO-3（Bokardo）。

情形 4 总结：如果结论是 O 命题，则有六个有效式，分别是AOO-2——Baroko、 EIO-1——Ferio、EIO-2——Festino、EIO-3——Ferison、EIO-4——Fresison、OAO-3——Bokardo。