插值：求过已知有限个数据点的近似函数。

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。

插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二 者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。

目录

1  拉格朗日多项式插值 

1.1  插值多项式 

范德蒙特(Vandermonde)行列式               截断误差 / 插值余项

1.2  拉格朗日插值多项式                                  1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值 

2  牛顿（Newton）插值 

 2.1 差商 : 定义与性质             2.2  Newton 插值公式 

Newton 插值的优点           差商与导数的关系         

2.3  差分 ：向前差分、向后差分、中心差分              差分的两个性质

2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式

3  分段线性插值 

3.1  插值多项式的振荡              3.2  分段线性插值                         3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 

4  埃尔米特(Hermite)插值 

4.1  Hermite 插值多项式                        4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值 

5  样条插值

5.1  样条函数的概念

    内节点 、边界点、k 次样条函数空间

二次样条函数                      三次样条函数

5.2  二次样条函数插值  

两类问题                                证明这两类插值问题都是唯一可解的

5.3  三次样条函数插值 

 3 种类型的边界条件：完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件 

5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现                    例 1  机床加工 

6   B 样条函数插值方法 

6.1  磨光函数                                          6.2  等距 B 样条函数 

6.3  一维等距 B 样条函数插值                   6.4  二维等距 B 样条函数插值 

7 二维插值 

7.1  插值节点为网格节点               7.2  插值节点为散乱节点                      习题

Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始） ，m 个插值 点以数组 x输入，输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件：

在导出 Newton 公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。

当节点等距时，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表 示。

（i）各阶差分均可表成函数值的线性组合，例如 

（ii）各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下： 

高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 

用   计算 x点的插值时，只用到 x左右的两个节点，计算量与节点个数n无关。 但n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。 

用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。

method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

'nearest'   最近项插值

'linear'    线性插值

'spline'    逐段 3 次样条插值

'cubic'    保凹凸性 3 次插值

 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。

如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 

Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数，必须编写一个 M 文件实现插值。 

许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外 形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续， 而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。 

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  

在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法， 就是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。

Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：

 其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是 pp 形式，要求出插值点的函数值，必须调用函数 ppval。

pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即 Lagrange 边界条件。

pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件，其值可为：

对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示，conds 元素的 取值为 1，2。此时，使用命令

其中 y0_ext=[left, y0, right]，这里 left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。

conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数，即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件，第二个元素表示右边界的条件；

conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶 导数，对应的值由 left 和 right 给出。

详细情况请使用帮助 help csape。 

解  编写以下程序： 

计算结果略。 可以看出，拉格朗日插值的结果根本不能应用，分段线性插值的光滑性较差（特别 是在x =14 附近弯曲处），建议选用三次样条插值的结果。 

实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要 求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插 值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知，对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度，因此，我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 

等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系： 

前面讲述的都是一维插值，即节点为一维变量，插值函数是一元函数（曲线）。若 节点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面。如在某区域测量了若干点（节点）的 高程（节点值），为了画出较精确的等高线图，就要先插入更多的点（插值点），计算这些点的高程（插值）。 

Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如    

如果是三次样条插值，可以使用命令

解  编写程序如下： 

对上述问题，Matlab 中提供了插值函数 griddata，其格式为：

例 3  在某海域测得一些点（x,y）处的水深 z 由下表给出，在矩形区域（75,200） ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 

解  编写程序如下：