(简易)一元三次方程拆分/求根方法 |
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(简易)一元三次方程拆分/求根方法
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(简易)一元三次方程拆分/求根方法
例: x 3 + 7 x 2 + 14 x + 8 = 0 x^3+7x^2+14x+8=0 x3+7x2+14x+8=0 式中常数8的因子有[1,2,4,8] 为了让因子之和或差等于二次项的系数.故舍弃8.故根为拆分出的因子的相反数. x 1 = − 1 , x 2 = − 2 , x 3 = − 4 x_1=-1, x_2=-2,x_3=-4 x1=−1,x2=−2,x3=−4即拆分为 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) = 0 (x+1)(x+2)(x+4)=0 (x+1)(x+2)(x+4)=0且三个根两两之间的乘积的总和等于一次项系数,即 ( − 1 ∗ 2 ) + ( − 1 ∗ − 4 ) + ( − 2 ∗ − 4 ) = 14 (-1*2)+(-1*-4)+(-2*-4)=14 (−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14 拆解步骤例1: x 3 + 9 x 2 + 23 x + 15 = 0 x^3+9x^2+23x+15=0 x3+9x2+23x+15=0 15的因子为[1,3,5,15]为满足因子之和或差等于二次项的系数,故舍去15取因子相反数,即 x 1 = − 1 , x 2 = − 3 , x 3 = − 5 x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5 x1=−1,x2=−3,x3=−5验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数 ( − 1 ∗ − 3 ) + ( − 1 ∗ − 5 ) + ( − 3 ∗ − 5 ) = 23 (-1*-3)+(-1*-5)+(-3*-5)=23 (−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23 ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) = 0 (x+1)(x+3)(x+5)=0 (x+1)(x+3)(x+5)=0例2: x 3 + 10 x 2 + 27 x + 18 = 0 x^3+10x^2+27x+18=0 x3+10x2+27x+18=0 15的因子为[1,2,3,6,9,18]为满足因子之和或差等于二次项的系数且只需保留3个,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2取因子相反数,即 x 1 = − 1 , x 2 = − 3 , x 3 = − 6 x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6 x1=−1,x2=−3,x3=−6验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数 ( − 1 ∗ − 3 ) + ( − 1 ∗ − 6 ) + ( − 3 ∗ − 6 ) = 27 (-1*-3)+(-1*-6)+(-3*-6)=27 (−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27 ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 6 ) = 0 (x+1)(x+3)(x+6)=0 (x+1)(x+3)(x+6)=0 重根情况例3: x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 = 0 x^3-4x^2+5x-2=0 x3−4x2+5x−2=0 2的因子为[1,2]为满足因子之和或差等于二次项的系数且需满足3个,因不足3个则必有重根,为满足因子之和为4,故取[1,2,1]取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数 ( − 1 ∗ − 2 ) + ( − 2 ∗ − 1 ) + ( − 1 ∗ − 1 ) = 5 (-1*-2)+(-2*-1)+(-1*-1)=5 (−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5 ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) = 0 (x+1)^2(x+2)=0 (x+1)2(x+2)=0 判断是否存在+1,-1的根 考试中一般三次方程会有一个1或-1的根.因为+1,-1是任何数的因子.判断是否有+1,-1的根,即隔次项系数相加等于另一组隔次项系数相加. 例 x 3 + 9 x 2 + 23 x + 15 = 0 x^3+9x^2+23x+15=0 x3+9x2+23x+15=0 三次项系数+一次项系数(1+23)=24 [ 1 式 ] [1式] [1式]二次项系数+零次项系数(9+15)=24 [ 2 式 ] [2式] [2式]因为 [ 1 式 ] = [ 2 式 ] [1式]=[2式] [1式]=[2式],故必有一个根为(-1)若[1式]和[2式]互为相反数,即 [ 1 式 ] = − [ 2 式 ] [1式]=-[2式] [1式]=−[2式],则必有一个根为1. 方法失效的情况 当上述方法不起租用说明可能存在共轭根 例 s 3 + s 2 − 2 = 0 s^3+s^2-2=0 s3+s2−2=0此时 1 + 2 + 1 ≠ 1 1+2+1\neq1 1+2+1=1,且 ( − 1 ) + ( − 2 ) + ( − 1 ) ≠ 1 (-1)+(-2)+(-1)\neq1 (−1)+(−2)+(−1)=1, 但判断是否存在 ± 1 \pm1 ±1的方法依然有效. 当判断存在一个 ± 1 \pm1 ±1根后可用长除法. 因为有一个根为(1),故除数为(s-1) 结果 ( s − 1 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) (s-1)(s^2+2s+2) (s−1)(s2+2s+2)此时再用配方法,十字相乘公式法等化简.
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