说起韦达定理，可能会有人嗤之以鼻：“不就是给出了二次方程根与系数的关系吗？谁不会啊？求根公式我会推，一加一乘不就有了？要是我生早一点，就是我的定理了。”

啊哈，实际上韦达定理并没有你想象的那么简单，也没有你想象的那么难（封面），我敢打保票，在座的都能理解。

在我们的数学课本里，教材是怎么得到韦达定理的？是先求出求根公式，然后一加一乘就出来了。然而，韦达定理并不是这样推导得来的，教材的“推导”只能算是“验证”，很容易误导学生。

我问你，一元三次方程根与系数的关系是多少？你是不是还想像教材那样去加、乘？我把求根公式（还是特殊简单形式）给你看一下：

来来来，笔给你，你来算。来啊，你算啊，怎么不算了啊？你不是要算的吗？

诶，你看，这个时候，我们教材的方法已经不适用了。实际上，三次方程的求根公式是根据韦达定理推导得来的。也就是，在三次方程求根公式出来之前便已经有了三次方程的韦达定理，并且三次方程求根公式是建立在韦达定理之上的。

韦达的厉害之处就在于，他提出了二次、三次方程根与系数的关系，并且按照他的思路，我们可以推导到四次五次乃至n次。

首先，为什么韦达定理是两个根相加，相乘，而不是相减相除呢？因为，如果是减法除法的话，你把两个根的值调换，得到的结果就不是一个固定值，起码得加上正负号，那会十分麻烦。

举个例子。比如说二次方程x²=4的两个根分别是2，-2.

OK，x1+x2=2+（-2）=0。

x1-x2呢？x1-x2是不是可以是2-（-2）=4，也可以是-2-2=-4？它们的值是不一样的。你看，这样子我们就无法用一个常数来表示x1-x2。

x1÷x2也是如此。x1+x2和x1x2不管怎么调换，值都是不变的。

我们不要去想求根公式，先看看二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系。

我问你，对于这个方程，能不能满足（x-x1）（x-x2）=0？x的值是x1和x2中的一个，如果是x1的话，x1-x1=0,0乘任何数都得0，成立；如果是x2，x2-x2=0,0乘任何数都得0，仍然成立。

所以，（x-x1）（x-x2）=0是成立的。那么，我们不妨把它给展开（你不妨在草稿纸上算一下）：

（x-x1）（x-x2）=0展开后是x²-xx2-x1x+x1x2=0。

整理一下，有：

x²+（-x2-x1）x+x1x2=0

对照原方程，我们发现还少了a。等式两边同乘a得：

ax²+a（-x2-x1）x+ax1x2=0

它与原方程是同时成立的。对照原方程的系数：

我们发现，这两个式子每一项的系数是可以对应起来的。

a对应a，a（-x2-x1）对应b，ax1x2对应c。

因为这两个方程是同时成立的，也都等于0，系数也能一一对应，这也就说明，它们对应项的系数是相等的。让a（-x2-x1）=b，ax1x2=c的话，上面的式子就能变成下面的式子。

因此我们可以得到：

a（-x2-x1）=b，ax1x2=c

那么x1+x2和x1x2的值便显而易见了。于是有：

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

这就是我们熟知的韦达定理。

我们再来看看三次方程的韦达定理。

三次方程的一般形式为：ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）。

我们依然可以得到：（x-x1）（x-x2）（x-x3）=0.

我们把上式再次展开，得到：

x³+（-x1-x2-x3）x²+（x1x2+x1x3+x2x3）x+（-x1x2x3）=0

等式两边同乘a，得到：

ax³+a（-x1-x2-x3）x²+a（x1x2+x1x3+x2x3）x+a（-x1x2x3）=0

这个等式依然可以和原方程对应起来：

于是我们有：

a（-x1-x2-x3）=b，a（x1x2+x1x3+x2x3）=c，a（-x1x2x3）=d

也就可以得到：

x1+x2+x3=-b/a，

x1x2+x1x3+x2x3=c/a，

x1x2x3=-d/a

你看，我们不需要用到那吓人的求根公式，我们也能得出三次方程根与系数的关系。

二次方程根与系数的关系为：

x1+x2=-b/a，

x1x2=c/a

三次方程根与系数的关系为：

x1+x2+x3=-b/a，

x1x2+x1x3+x2x3=c/a，

x1x2x3=-d/a

发现了什么规律了吗？单看等式右边，先看符号，-+-···，分子是b，c，d···。这是有规律的。这个规律我不好总结，有兴趣的朋友推荐去看李永乐老师的视频。

根据这个规律，我们可以得到一般n次方程

根与系数的关系。

当然，n次方程就会有n条根与系数的关系，凭我的能力，完全表示不出来。这里有一个看规律版的：

你看啊，右边是-+-+-+···，分母都是an，分子的下标则是有规律的n-1，n-2，n-3···；左边的式子也是有规律的。

对于我们的四次五次n次方程，我们依然可以沿用韦达的方法，去求出根与系数的关系。

PS：要看三次四次求根公式的可以去我的空间里翻，视频专栏都有。