三次函数$f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$（$a \ne 0$）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．

以$a>0$为例，如图1，记$\Delta=b^2-3ac$为三次函数图象的判别式，则

图1  用判别式判断函数图象

当$\Delta \leqslant 0$时，$f(x)$为$\mathcal R$上的单调递增函数； 当$\Delta >0$时，$f(x)$会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．

性质一的证明    $f(x)$的导函数为$$f'(x)=3ax^2+2bx+c,$$其判别式为$4(b^2-3ac)$，进而易得结论．  

如图2，$f\left( x \right)$的图象关于点$P\left( { - \dfrac{b}{{3a}} , f\left( { - \dfrac{b}{{3a}}} \right)} \right)$对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于$P$对称）．

图2   图象的对称性

反之，若三次函数的对称中心为$\left( {m , n} \right)$，则其解析式可以设为$$f\left( x \right) = \alpha\cdot{\left( {x-m} \right)^3} + \beta \cdot \left( {x-m} \right) + n,$$其中$\alpha\neq 0$．

性质二的证明    由于$$f(x)=a\left(x+\dfrac b{3a}\right) ^3+\left( c-\dfrac{b^2}{3a}\right) \left( x+\dfrac b{3a}\right) -\dfrac{bc}{3a}+\dfrac{2b^3}{27a^2}+d,$$即$$f(x)=a\left(x+\dfrac b{3a}\right) ^3+\left( c-\dfrac{b^2}{3a}\right) \left( x+\dfrac b{3a}\right)+f\left( -\dfrac{b}{3a}\right) ,$$于是性质二得证．

例1    设直线$l$与曲线$y = {x^3} + x + 1$有三个不同的交点$A , B , C$，且$\left| {AB} \right| = \left| {BC} \right| = \sqrt 5 $，求直线$l$的方程．

解    由$|AB|=|BC|$可知$B$为三次函数的对称中心，由性质二可得$B(0,1)$，进而不难求得直线$l$的方程$y=2x+1$．

例2    设函数$f\left( x \right) = x\left( {x-1} \right)\left( {x-a} \right)$，$a > 1$．

（1）求导数$f'\left( x \right)$，并证明$f\left( x \right)$有两个不同的极值点${x_1} $，${x_2}$；

（2）若不等式$f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) \leqslant 0$成立，求$a$的取值范围．

（1）解    $f(x)$的导函数$$\begin{split} f'(x)&=(x-1)(x-a)+x(x-a)+x(x-1)\\&=3x^2-2(a+1)x+a, \end{split} $$而$$\begin{split} f'(0)&=a>0,\\f'(1)&=1-a1$，可得$a$的取值范围是$[2,+\infty )$．

注    本题为2004年高考重庆卷理科数学第$20$题．

如图3，设$P$是$f\left( x \right)$上任意一点（非对称中心），过$P$作函数$f\left( x \right)$图象的一条割线$AB$与一条切线$PT$（$P$点不为切点），$A$、$B$、$T$均在$f\left( x \right)$的图象上，则$T$点的横坐标平分$A$、$B$点的横坐标．

图3   切割线性质

推论1    设$P$是$f\left( x \right)$上任意一点（非对称中心），过$P$作函数$f\left( x \right)$图象的两条切线$PM$、$PN$，切点分别为$M$、$P$，如图．则$M$点的横坐标平分$P$、$N$点的横坐标，如图4．

图4  切割线性质推论一

推论2    设$f\left( x \right)$的极大值为$M$，方程$f\left( x \right) = M$的两根为${x_1}$、${x_2}$（${x_1} < {x_2}$），则区间$\left[ {{x_1} , {x_2}} \right]$被$ - \dfrac{b}{{3a}}$和极小值点三等分．

图5   切割线性质推论二

性质三的证明    设$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\ne 0$），直线$PT:y=k_0x+m_0$，直线$PAB:y=kx+m$，则分别将直线$PT$与直线$PAB$的方程与三次函数的解析式联立，得$$\begin{split} ax^3+bx^2+(c-k_0)x+d-m_0=0,\\ax^3+bx^2+(c-k)x+d-m=0, \end{split} $$于是根据三次方程的韦达定理可得$$2x_T+x_P=x_A+x_B+x_P,$$即$$x_T=\dfrac{x_A+x_B}2,$$于是命题得证． 推论1和推论2的证明留给读者．

例3    如图6，记三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\neq 0$）的图象为$C$，若对于任意非零实数$x_1$，曲线$C$与其在点$P_1\left(x_1,f(x_1)\right) $处的切线交于另一点$P_2\left(x_2,f(x_2)\right)$，曲线$C$与其在点$P_2$处的切线交于另一点$P_3\left(x_3,f(x_3)\right)$，线段$P_1P_2$、$P_2P_3$与曲线$C$所围成的封闭图形的面积分别记为$S_1$、$S_2$．求证：$\dfrac{S_1}{S_2}$是定值．

图6

解    由性质二，任意三次函数$f(x)$都可以通过平移变化变成$$g(x)=px^3+qx,$$然后可以作伸缩变换变成$$h(x)=x^3+rx,$$而无论平移还是伸缩，题中的$\dfrac{S_1}{S_2}$均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数$h(x)=x^3+rx$成立即可． 根据题意，联立函数$h(x)=x^3+rx$与函数$h(x)$在$P_1$处的切线方程得$$(x-x_1)^2\cdot (x-x_2)=0,$$于是$$2x_1+x_2=0,$$即$$x_2=-2x_1.$$又由性质三的推论1，可得$$2x_1=x_2+x_3,$$即$$x_3=4x_1.$$ 于是，线段$P_1P_2$与曲线$C$所围成的封闭图形的面积$$\begin{split} S_1&=\left|\int_{x_1}^{x_2}{(x-x_1)^2\cdot (x-x_2)}{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_{x_1}^{-2x_1}{\left(x^3-3x_1^2x+2x_1^3\right)}{\rm d}x\right|\\&=\left|\left.\left(\dfrac 14x^4-\dfrac 32x_1^2x^2+2x_1^3x\right)\right|_{x_1}^{-2x_1}\right|\\&=\dfrac{27}4x_1^4,\end{split} $$类似的，线段$P_2P_3$与曲线$C$所围成图形的面积$$S_2=\dfrac{27}4x_2^4,$$于是所求的面积之比为$$\dfrac{S_1}{S_2}=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^4=\dfrac 1{16}.$$

注   此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对$f(x)=x^3-x$成立）．

如图7，过$f\left( x \right)$的对称中心作切线$l$，则坐标平面被切线$l$和函数$f\left( x \right)$的图象分割为四个区域，有以下结论：

图7    切线条数

① 过区域 I、III 内的点作$y = f\left( x \right)$的切线，有且仅有三条； ② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作$y = f\left( x \right)$的切线，有且仅有一条； ③ 过切线$l$或函数$f\left( x \right)$图象（除去对称中心）上的点作$y = f\left( x \right)$的切线，有且仅有两条．

性质四的证明    由性质二，不妨设$f(x)=x^3+mx$，坐标平面内一点$P(a,b)$． 三次函数图象上$x=t$处的切线方程为$$y=(3t^2+m)(x-t)+t^3+mt,$$即$$y=(3t^2+m)x-2t^3,$$切线过点$P(a,b)$，即$$b=-2t^3+3at^2+ma.$$ 而三次函数对称中心处的切线方程为$$y=mx,$$于是考虑直线$y=b-ma$与函数$$h(t)=-2t^3+3at^2$$的图象公共点个数． 函数\(h(t)\)的零点为\(0\)和\(\dfrac {3a}{2}\)，且\(0\)为它的一个极值点，由性质二的推论2知，\(h(t)\)的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为\((a,a^3)\)，以\(a>0\)为例，\(h(t)\)的草图如下： 容易得到结论： 当$a