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一、单元作业概况

函数在初中数学教学中占据着重要的比例，而人教版第十九章一次函数，是初中学生第一次接触“函数”这一抽象概念，是初中函数的起点，一次函数的有效学习，将为学生今后进一步探究其他函数关系奠定基础，指明方向。

本章节课时内容的教学设计是在单元整体教学设计的背景下确定的。本章节核心知识点，均放在大单元视野下进行“俯视教学”，引导学生发现变化过程中的数量关系、表现形式、类型分类，明确特殊类型的变化规律及研究方向，将变化的数学规律运用于外部世界，提高学生建构知识结构体系的能力。

作业内容：一次函数单元部分课时家庭作业。

作业类型：典型作业、拓展作业、分层作业、实践作业。

二、案例征文

（一）学科核心素养细化

通过对现实问题情境的分析，学会用数学的眼光观察现实世界，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，能在变化的过程中抽象出函数模型；利用数形结合研究函数的数量关系，掌握函数的性质；能用函数的观点解方程（组）和不等式，理解知识间的内在联系，体会“以形示数，以数释形”的数形结合思想；能在综合的情境中建立函数模型，应用函数的图像及性质解决实际问题，提高对数据的分析能力和运算能力；形成函数的研究体系，为今后类比一次函数知识结构体系，探究其他函数奠定基础。

（二）单元大概念架构

函数是解决现实问题的数学模型，为实现从单元整体到局部课时设计，渗透对学生数学建模素养的培育，其课程教学设计以实际问题的解决带动函数单元教学，使学生在函数学习的一开始就对函数产生整体性的认识，再借助几何画板等教学工具，动态地展现变量之间变化的关系，对函数性质进行深入研究，解决实际问题。本单元知识结构体系：变量→函数→正比例函数→一次函数的概念→一次函数的图象与性质→一次函数的应用→一次函数与方程、不等式的关系→建立一次函数模型解决实际问题。

（三）整体教学流程透视

本单元共3节内容，分别是：19.1函数；19.2一次函数；19.3课题学习方案选择，分12个课时完成单元教学内容。

教学流程图：

（四）作业具体内容设计

【作业设计案例1】

1.准备一个干净的玻璃杯和一些体积相同的玻璃球，先在玻璃杯里加入一定量的水，测量水面高度，依次放入玻璃球，每放一个玻璃球，测量一次水面高度，完成下表：

指出这一变化过程中的常量和变量，写出函数解析式，确定自变量的取值范围.

2.结合生活实际设计一个变化过程，指出变化过程中哪些是常量哪些是变量，尝试用函数解析式来描述这一变化过程并确定自变量的取值范围.

【设计意图】

本节课的重点在于辨别变化过程中的常量和变量，用数学语言描述变化过程。第一小题给出具体的问题情景，实验步骤，利用初中物理所学的长度测量知识，选择量程分度值合适的刻度尺，放正水杯，视线正对读取测量结果等知识，对初中数学知识与物理实验操作进行学科整合，提高学生操作、观察、思考、分析的能力，激发学生的好奇心和学习兴趣。第二小题通过寻找生活中的变化过程，让学生用数学的眼光去看现实世界，用函数的方法去描述现实世界。帮助学生熟练辨别变化过程中的常量与变量，感受数学在现实生活中的应用，以及用数学语言表达的能力。同时自己创设情境，也有助加深学生对函数是研究某个变化过程中的数量关系的工具的理解。

【作业设计案例2】

已知张强家、体育馆、新华书店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走路到新华书店买书，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．

根据图象回答下列问题：

（1）体育馆离张强家多远？张强从家到体育馆用了多少时间？

（2）体育馆离新华书店多远？

（3）张强在新华书店停留了多少时间？

（4）张强从新华书店回家的平均速度是多少？

【设计意图】

本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。数学的发展说明，函数数形结合的表示方法，在数学发展中具有重要地位。本题设计目的是通过数和形两个方面共同分析问题、解决问题。题目从实际情境出发，在自变量取值范围内不同部分上具有不同的函数图像。题目中人物的运动是在直线上运动，虽图像中路程与时间的关系是呈阶梯状图像关系，但利用图象能直观形象地表示出函数值距离y随自变量时间t变化的变化趋势，彰显图象法的优势。通过本题，可以培养学生从中实际问题中抽象出数学问题，明确每段函数图像的含义与其所表达的实际意义，体会数形结合。

【作业设计案例3】

1.函数当m、n为何值时，该函数是一次函数？如果函数是一次函数，计算当时的函数值.

2.写出同时具备下列两个条件的一次函数解析式：y随x的增大而增大，且图象经过点（2，-4）.

3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B（0，b），O为平面直角坐标系的坐标原点，若△ABO的面积为10，求该一次函数的解析式.

【设计意图】

本题考查一次函数的定义在求字母值中的应用，理解并掌握一次函数解析式的结构特征，引导学生紧扣一次函数定义的三个特征及函数值得求法进行求解，属于所学内容的直接应用。第二题属于开放式题目，答案不唯一，要求学生掌握一次函数的图象及性质，然后赋一个合适的k值，再根据第二个条件确定属于b的值，属于所学内容的直接应用，题目较容易。第三题利用分类讨论思想求涉及三角形面积的一次函数解析式，紧扣点B位置的不确定性（在y轴正半轴还是负半轴不确定）进行分类讨论，在学生掌握直角坐标系中图形面积计算方法的同时，培养学生思考的周密性，条理性，最后用待定系数法来求出一次函数的解析式，属于中等难度题目，是所学内容的综合应用。

【作业设计案例4】

必做题：某种工程车的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示：

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）一箱油可供工程车工作几小时？

选做题：调查本市出租车收费标准，设计一道与一次函数有关的实际问题.

【设计意图】

本节教学目标是学生掌握将实际问题抽象为数学问题，能根据题目信息，用待定系数法求函数解析式，并将问题转化为求自变量或函数值问题。通过练习，可使学生认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生模型观念。相对于必做题的作业设计，选做题作业，可提高学生综合运用一次函数知识解决实际问题的能力，供学有余力的同学进行巩固练习，熟练掌握将实际问题抽象为数学问题，建立函数模型解决实际问题的方法。

【作业设计案例5】

分别用两种方法解答下列各题：

1.当自变量x取何值时，函数的值为0？当自变量x取何值时，函数的值为6？

2.若函数的值小于0，求自变量x的取值范围。

3.自变量x取何值时，函数与函数的值相等？这个函数值是多少？

【设计意图】

通过课后作业，加深学生对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）之间相互转化的关系。理解解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0时自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分，所有的点的横坐标所构成的集合，而两函数值相等就是求方程组的解。

【作业设计案例6】

我学校附近文具店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本售价比乙种笔记本少4元，购买4本甲种笔记本和5本乙种笔记本共花费56元．

（1）该文具店甲、乙两种笔记本每本售价各是多少元？

（2）某班准备一次性购进两种笔记本共50本，且甲种笔记本数量不超过乙种笔记本的2倍，请你设计出最省钱的购买方案；

（3）若甲种笔记本每本进价为3元，乙种笔记本每本进价为6.5元，根据学生们的需求，该文具店决定购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的，请你帮助该文具店设计一种进货方案，使文具店获利最大，并求出最大利润；

（4）实际进货时，经销商对甲种笔记本的进价下降a（0