出品 | 新浪科技《科学大家》

撰文 | 陈景灵 南开大学陈省身数学所教授

一、引言

经典理论和量子理论毫无疑问是人类智慧的结晶。牛顿力学是以牛顿运动定律和万有引力定律为基础，研究速度远小于光速的宏观物体的运动规律。从本质上讲，牛顿力学是一种超距作用的物理理论。在一个有相互作用的多体系统中，一个质点的变化可以瞬间影响整个系统。再比如，牛顿力学允许刚体的存在，如果我们对质心施加作用，则刚体所有的点都会立即随着质点运动的变化而变化。到了十九世纪，麦克斯韦的电磁理论首次预言电磁波的存在，并且以光速的有限速度传播。这随后促使爱因斯坦把相互作用的定域性作为一个基本前提，在其相继提出的狭义和广义相对论中占有重要的位置。相对论的巨大成功让人们相信，定域性是一切相互作用应当遵守的法则。

然而量子力学的结果让人颇感意外。贝尔指出，所有的定域理论都有一个界限，即贝尔不等式，而量子力学可以突破这个界限。这意味着由量子力学描述的世界是非定域的。很长一段时间人们对非定域性这个概念很不适应。受到相对论中定域性的影响，量子力学的这种非定域性似乎意味着超距作用的可能，那么物理理论就又回到了牛顿力学的范畴。但事实并非如此。与牛顿力学不同，量子力学具有概率论的特点。量子力学中的联合概率满足无信号条件，而无信号条件刻画了空间中相距一定距离的两点是否存在相互作用。实际上，量子力学中的非定域性本质上是一种关联，它与超距作用是完全不同的概念。我们可以看到，现有的量子隐形传态等量子信息技术方案都需要经典通讯的帮助，无法实现信号的超光速传递。量子力学的科学研究有一个显著的特点，就是它通常要和经典理论进行比较以达到深入地理解。或者说，在一定程度意义上，量子力学的研究脱离不开与经典力学的对比。在对经典和量子理论的不断对照和思索中，人们涌现出了许许多多的疑问：大自然为何允许存在这种非定域关联？是怎样的一种机制使得非定域性与因果律不相矛盾？我们周围的这个世界甚至包括人类自己到底是客观性的还是主观性的，是确定性的还是概率性的？等等。这些问题的解答将会对物理理论以及整个科学的发展带来积极的促进作用。

自从量子力学的奠基者以其深邃的洞察力提出“薛定谔猫态”和“EPR佯谬” 以来， 对于量子非定域性（Quantum Nonlocality）的研究一直是探索量子力学基本问题的热点课题。量子非定域性是量子力学区别于经典力学的本质特性，是量子信息和量子计算的基础，并具有极其深刻的物理意义。自从量子力学的诞生开始，人们对量子非定域性的理论研究与实验探测一直没有停息。2007 年，Wiseman， Jones 和Doherty 对量子非定域性进行重新审视，他们把它仔细划分为三种类型：量子纠缠（Quantum Entanglement）、量子导引（Qauntum Steering）和贝尔非定域性（Bell Nonlocality）。量子纠缠和量子导引的基本概念起源于1935 年爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（简称为EPR）的著名论文以及量子力学奠基人之一薛定谔对EPR 论文的反应。而贝尔非定域性则来源于1964 年贝尔对于EPR 佯谬的思考。1989 年德国物理学家Werner 首次给出量子纠缠的严格数学定义。2007 年Wiseman 等人首次给出量子导引的严格数学定义，并指出贝尔非定域性是自然界最强类型的非定域性，而量子导引是一种严格介于量子纠缠和贝尔非定域性之间的新型非定域性。

研究贝尔非定域性的手段主要有贝尔不等式和无不等式方法（比如GHZ 定理和Hardy 定理）。贝尔不等式被称为“科学中意义最深远的发现” （The most profound discovery in science），量子纠缠态对于不等式的破坏意味着此量子态的非定域性；而一个物理系统或状态若被证明有GHZ定理则说明此物理系统或状态具有贝尔非定域性。量子非定域性被认为是量子力学的核心性质之一，同时它亦是量子信息学中的核心问题。同时通过与信息论的交叉融合，形成了量子信息学，亦为量子力学提供了一个全新的视点和生长点，对它的深入研究也极大地深化了量子理论本身，并开拓了量子力学应用的新天地。通过利用量子力学中的基本原理和基本概念来实现信息的处理，量子信息学取得了革命性发展。目前，量子非定域性的物理含义已逐步被发掘出来并广泛地应用于量子信息学各个领域，诸如量子密码、量子计算、量子通讯、量子模拟、量子隐形传态和真正随机数生成等。许多突破性成果已经获得，与此同时还有许多激动人心的方向亟待着人们去探索和发现。

二、贝尔不等式

1935年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森发表了题为“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete？”的论文。在论文中他们提出，实在性是物质独立于任何理论的属性；一种理论是否完备取决于每一个物理实在元素都可以在这个理论中找到对应的描述，即理论中定义的各种物理量。实在性意味着这些物理量有确定的大小。然而我们知道，在量子力学中一个粒子的位置和动量不可能同时确定。EPR通过定域性假设和实在性假设，运用量子力学中的纠缠态得到一个EPR 佯谬。根据EPR 佯谬，爱因斯坦等人认为如果定域实在论是正确的，那么依赖波函数去描述一个系统的量子力学理论将是不完备的。在相对论中，相互作用的传播速度不能超过光速，因此类空间隔的两个事件不会互相影响，这就是定域性。定域性假设是指A粒子的测量结果只与对A的测量方式有关，与B粒子的测量结果和方式无关。衡量定域性的必要条件就是量子测量结果的联合概率要满足所谓的无信号条件（No-Signaling Condition）。

然而，定域实在论会是正确的吗？基于对EPR 佯谬的思索，1964 年贝尔以不等式的形式提出了贝尔定理的基本思想：任何定域实在论都与量子力学理论不相容。贝尔不等式的问世使得量子纠缠态的非定域性第一次可以通过物理实验进行验证，从而使得原来只能停留在哲学层面上的爱因斯坦--玻尔之争变成一个可以从实验上加以定量检验的问题。在量子信息中，我们称一个二能级系统为量子比特（Qubit）， 其物理载体可以是一个自旋1/2粒子，或者一个偏振光子等。1964 年贝尔提出的原始不等式是针对两比特系统（Two-Qubit），但其形式不易于实验检验。随后，1969 年Clauser，Horne，Shimony 和Holt（CHSH）完善了两比特系统的贝尔不等式，他们提出了更易于实验操作的 CHSH 不等式。对于定域实在论或者定域隐变量模型（即LHV 模型）而言，CHSH 不等式的经典上界是2。然而在量子力学中，分别掌握两个比特粒子的观测者 Alice 和Bob 却可以通过选择合适的测量方向使得量子破坏值可以达到2.828，这十分明显地超过了定域实在论所确定的上界。CHSH不等式使得量子纠缠态的贝尔非定域性第一次可以通过物理实验进行验证，并且激发了一大批构思巧妙的实验工作，比如1981年 Aspect 等人从实验上验证了量子力学对贝尔不等式的违背。从1981 年至2015 年期间，许多检验贝尔非定域性的贝尔实验陆续涌现，尽管一些定域性漏洞或者探测效率漏洞仍然存在，但这些贝尔实验均证实了量子力学理论预言的正确性。2015 年底，终于出现三个实验组的贝尔实验，它们均同时克服了定域性漏洞和探测效率漏洞这一长期困难问题。利用贝尔不等式这一强而有力的工具能够无可争辩地揭示出量子纠缠态的非定域性，显示出量子力学本质区别于基于定域实在理论的经典力学。这说明，不存在定域实在的隐变量理论，定域性和实在性两者有一个是错误的，或者都是错误的。

1969 年之后，贝尔不等式理论方面的研究获得极大的推广。为了方便论述，我们称具有d个能级的系统为Qudit（d 亦称为系统的维数，当它等于2 时对应与Qubit），测量方式称为Setting。所以，N 体 K-Setting Qudit指的是一个系统中有N个粒子，对每一个粒子有K 种测量方式，能够得到d 种结果。按照这种说法，著名的CHSH 不等式就属于两体两维系统的两Setting 贝尔不等式。贝尔不等式理论框架本身的进一步完善、以及量子信息学的进一步发展，比如需要量子调控多粒子纠缠系统，迫切需要人们对贝尔不等式进行推广。贝尔不等式的推广一般沿着三个方向进行：（i）多体，即多粒子系统；（ii）多维，即多能级系统；（iii）多Setting，即每个观测者做多次投影测量方式。目前，比较知名的贝尔不等式有： （i） MABK 不等式， WWZB 不等式，Hardy 不等式，它们都属于N体两维系统的两Setting 贝尔不等式； （ii） CGLMP 不等式， 它属于两体多维系统的两Setting 贝尔不等式；（iii） Chained 不等式， AS 不等式，它们属于两体两维系统的多Setting 贝尔不等式，等等。对于上述提到的知名不等式，其提出者在构造过程基本上是靠猜测或反复测试，缺乏系统的办法。2009 年，人们发现有一套系统并行之有效的方法来构造贝尔不等式。这套方法是基于贝尔函数的“根”的概念，借助于此方法人们能够重现文献上提出的所有贝尔不等式并且对它们进行有效的分类（比如CHSH 不等式和MABK 不等式是属于具有两个不同“根”的不等式，而CGLMP 不等式是属于具有三个不同“根”的不等式 ）， 同时还能够给出一些崭新的贝尔不等式。

贝尔1928 年出生于北爱尔兰，逝世于1990 年，曾获得诺贝尔奖提名。1998 年英国《Physics World》杂志专题报导了贝尔的生平及科学发现，评述说：“量子力学是所有时代里最成功的科学理论。许多伟大的名字与量子理论联系在一起。海森堡与薛定谔建立了理论的数学形式，爱因斯坦和玻尔分析了其许多重要的特性。尽管如此，还是贝尔对理论的考察最深刻，他建立的理论能够告诉我们物质世界最基础的本质”。由于贝尔的杰出贡献，2009 年学术界成立了贝尔奖，用以表彰在量子力学基本问题及其应用方面取得突出成绩的研究者。

三、Leggett不等式与非实在

量子力学具有非定域性。定域实在论无法完全描述量子力学，那么非定域实在论是否就可以描述呢？ 2003年，诺贝尔奖获得者Leggett 提出了一种类型的非定域实在模型。同时他也提出了Leggett 不等式，并指出量子力学可以违背这个不等式，从而确定此类非定域实在模型也无法完全描述量子力学。Leggett 不等式中的实在性与贝尔不等式的实在性不同，而且没有类似的的定域性条件。因此，Leggett不等式代表了一种非定域实在模型。2007 年有四个实验组报道证实了量子力学对Leggett不等式的违背，这就使爱因斯坦意义上的“实在”这一概念受到挑战[参见“Quantum physics says goodbye to reality”， http://physicsworld.com/cws/article /news /27640]。

量子力学可以违背贝尔不等式的实验证实确认了爱因斯坦的定域实在理论不可能完全地描述量子力学的行为，由此说明要么“定域”错了，要么“实在”错了，或者两者都有。一般认为，实在性表现在相应的物理量在测量之前就拥有某个确定的数值，或者说，实在性表现为决定性。实际上，不用决定性假设，人们也可以推出贝尔不等式。因此，实在性不必一定表现为决定性。瑞士物理学家Gisin 认为，决定论和实在论是两个不同的概念。实在论指的是，人们对系统的测量方式和测量结果都是可以直接接触到的经典数据，它们可以用经典方式复制、储存、传递，是可以用实数来表示的经典信息。在这个定义的基础上，一个非实在的世界将存在诸多问题。如果测量方式的选取是非实在的，或者说人们不能自由决定每次实验的测量方式，那么就没有真正意义上的随机，这往往意味着科学的终结。如果测量结果是非实在的，人们将遇到“量子测量问题”。有两种解决方式：（i）“多宇宙”解释，但这个解释将违背自由意志；（ii）测量结束的时间比通常设想的要长，即量子测量的输出结果不是瞬时的，而是需要有限长的时间，于是空间相距很远的两处地点就有足够的时间进行低于光速的通信。那么，到底是什么标志着一个量子测量的结束呢？这是一个有趣的问题。

相比之下，我们更加强调世界的非定域性。应该指出的是，通过一种非定域实在模型推出的Leggett 不等式，它同样能够被量子力学破坏。结合贝尔不等式的破坏，人们可能会得出“世界是非实在的”这一结论。然而，在Leggett不等式中实在的定义与贝尔不等式稍有不同，而且目前的实验验证只限于光子。对于非零质量的粒子，Leggett 不等式是否仍然能够被破坏还不清楚。总之，非实在的可能性还是一个很有争议的问题。

四、Gisin 定理

纠缠态是量子力学特有的系统状态。由态叠加原理可知，一个量子系统可以同时处于多个本征态的线性叠加态。对多体系统便出现纠缠态。量子态按纯度分为纯态和混合态；按是否纠缠分为可分离态和不可分离态。不可分离态就是量子纠缠态。对于纯态，如果该量子态不能因式分解成子系统的直积态，那么它就是纠缠的。对于混合态，如果该系统量子态的密度矩阵不能写成子系统密度矩阵直积的凸组合，那么它就是纠缠的。这实际上就是1989 年Werner 对于量子纠缠态的数学定义。纠缠的程度称为纠缠度，它反映了系统之间的关联程度。纠缠度处于0到1之间，等于1 表示最大纠缠；等于0 表示不纠缠。一般而言，只有纯态才能达到最大纠缠。两比特的贝尔基，多粒子的GHZ 态都是该系统的最大纠缠态。1998 年， Wootters （量子不可克隆定理的提出者之一）首次给出两比特系统解析的纠缠度公式。然而，除了两量子比特系统，目前对于其它系统的任意量子态，人们尚未能够找到解析的纠缠度公式。

无论是1964 年贝尔的工作、1969 年CHSH 的工作、还是1981 年Aspect 的实验，都是专注于研究最大纠缠态对于贝尔不等式的破坏。而在上个世纪八十年代，“非最大纠缠态是否也具有贝尔非定域性”或者“量子纠缠与贝尔非定域性之间关系”的研究课题还没有提上日程。德国物理学家Werner 是第一个关注这个课题的研究者，但他不是从贝尔不等式的角度而是从定域隐变量模型的数学定义本身出发来研究这个课题。定域隐变量模型在玻姆的工作及贝尔的工作中已有明确的数学定义。按照定义，一个量子态如果不具有定域隐变量模型的描述就意味着其具有贝尔非定域性。1989 年，Werner 首次给出量子纠缠严格数学定义的同时，他还通过构造Werner 态来分析指出量子纠缠与贝尔非定域性是两个不同的概念，因为存在一些量子纠缠态，它们永远可以具有定域隐变量模型的描述。

一般而言贝尔非定域性是量子纠缠的子集，即存在一些量子态，它们虽然是纠缠的，但不具有贝尔非定域性。

1991 年，在一个2-Qubit 系统中，Gisin 利用 CHSH 不等式解析地证明了一个定理：任意2-Qubit 纠缠纯态都违背贝尔不等式。这个定理被称为Gisin 定理，它表明：对于任意2-Qubit 纯态，量子纠缠与贝尔非定域性等价。但这个定理的结论并不是显然的，因为1990 年当Gisin 和贝尔面对面讨论起量子纠缠与贝尔非定域性的等价关系课题时，贝尔本人并不知道这个结论。1992 年Gisin 和 Peres 随后发现Gisin 定理也适用于任意2-Qudit 系统（即两体d 能级系统）的纯态，他们的证明方法是先把多维自由度投影到两维空间，然后仍使用 CHSH 不等式。于是对于两体任意纯态情形，Gisin 定理普遍成立。Gisin 定理表明，不仅最大纠缠态具有贝尔非定域性，而且所有的两体纠缠纯态都具有贝尔非定域性。Gisin 定理因而把非定域性置于物理学的核心。Gisin 的工作发表之后，非定域性的研究及其应用获得迅速地发展，比如1991 年Ekert 提出基于贝尔定理的量子密码，其中密码的安全性由贝尔不等式的违背来保证；1993 年Bennett 等人提出利用贝尔基进行远程的量子隐形传态等。

量子纠缠和贝尔非定域性之间究竟是怎样的关系？简而言之，Werner 把量子纠缠和贝尔非定域性两个基本概念区别开来。Gisin 则指出，在纯态这样的条件下，两体系统的量子纠缠等价于贝尔非定域性。就在Gisin 定理的建立前后，Mermin， Ardehali， Belinskii 和Klyshko 等 人把2-Qubit CHSH不等式推广到任意N个Qubit的贝尔不等式（即MABK 不等式）。 但是， 在2001 年Scarani和Gisin却发现在三粒子和多粒子系统中并不是所有N-Qubit纠缠纯态都违背MABK不等式，即MABK不等式被证明不满足Gisin定理。2001年Werner，Wolf和2012 年Zukowski，Brukner分别建立了关于N-Qubit系统更广 的贝尔不等式（即WWZB不等式，MABK不等式是它的特殊情形 ）。 他们发现虽然WWZB不等式比MABK不等式能探测更多一些纠缠纯态，但仍然不满足Gisin定理。由此人们转而认为两体以上的量子系统一般不存在Gisin定理。但是，到了2004年，三粒子系统纯态情形的Gisin定理首次获得了证明和推广，并且2012年Yu 等人又进一步把纯态情形的Gisin定理彻底地推广到了任意多粒子系统。2015 年混合态情形的Gisin 定理首次被提出，并且发现其可以应用于量子身份验证方案。

Gisin 定理除了在量子信息学具有纠缠判据等意义之外，它对于量子力学多体问题本身还具有如下重要意义：在低温情况下，一个量子多体自旋系统哈密顿量（比如Ising模型，Kitaev模型等）的基态是一个纯态，由于系统的强关联性此纯态一般是一个纠缠纯态，依据Gisin定理此物理系统的基态将破坏贝尔不等式因而具有量子非定域性。这个事实从另一个侧面反映了Kitaev 模型等物理系统为什么能用于做量子计算的原因之一（此外还存在一些基于量子失协的量子计算方案，其中使用了非纠缠的量子态但仍具有非经典关联性质）。此外，2002 年 Collins， Gisin， Linden， Massar 和Popescu 提出2-Qudit 系统的贝尔不等式，即CGLMP 不等式，它是CHSH 不等式的高维自然推广。该不等式可以用来证明2-Qudit 任意纯态的Gisin 定理。然而有些奇怪的是，对CGLMP不等式违背最大的态并非最大纠缠态，而且目前这种奇怪的现象尚缺乏合理的物理解释。这从另一个侧面反映出量子纠缠和贝尔非定域性是两个截然不同的概念。量子纠缠与贝尔非定域性之间的准确界限目前还没有完全弄清楚。比如，我们考虑2-Qubit Werner态，它是最大纠缠态与最大混合态的凸组合，其中使用参数V 来表示最大纠缠态在Werner 态中所占的权重。由纠缠度计算公式容易得知，V为1/3是纠缠态与可分离态之间的临界点。但是如何界定量子纠缠与贝尔非定域性之间的临界值尚未清楚。人们猜测这个该临界值和一个被称为Grothendieck 数的数学常数有关，其约等于0.66。

五、GHZ 定理

从定域实在隐变量理论出发得到的贝尔不等式能够被量子力学破坏。贝尔不等式是通过对隐变量做统计平均，从而得到实验上可以验证的形式：关联函数。实际上，还存在另外一种方案，即从量子力学出发，然后验证相应的结论能否用定域实在论解释，从而比较量子理论和经典理论的异同。其中，GHZ定理因为其直观的物理图景，得到了众多的关注和研究。

1989 年 Greenberger，Horne 和 Zeilinger （GHZ） 通过分析3-Qubit系统的最大纠缠态提出了 GHZ 定理：对于 GHZ态，存在一组互相对易的力学量，对这组力学量的测量，量子力学将给出与定域实在理论不相容的测量结果。GHZ 定理是首个研究贝尔非定域性的无不等式方法，其又被称为GHZ 佯谬，因为在该佯谬中，量子力学给出了“+1”“的结果，而经典理论给出“-1”的结果。这个“1=-1”的矛盾论证说明，不存在经典的定域实在模型能够描述量子力学的结果。贝尔不等式与 GHZ定理分别从不同的角度揭示出了贝尔定理。前者属于有不等式形式的贝尔定理，后者属于无不等式形式的贝尔定理。贝尔不等式要用到积分平均，因此它是一种统计上的结果。而 GHZ定理对量子纠缠态的非定域性是从非统计的角度来揭示，它显示出了量子力学与定域实在理论的完全背离。2000 年，Pan 等人利用光子实验方 案检验了关于3-Qubit GHZ 态的GHZ定理。但是基于光子的 GHZ定理实验检验方案其容错性不太强，比如光子的极化方向很难完美地调节到所需的方向，微小的偏差不可避免；另外光子还不可避免地受到环境退相干的影响。因此发展具有容错性强的 GHZ定理实验检验方案成为人们的一个重要研究目标。

2010年基于非阿贝尔任意子和对任意子的辫子操作，人们提出了3-Qubit GHZ定理的可容错实验检验方案。非阿贝尔任意子是强关联量子系统中拓扑态

的准粒子激发，由于（i）拓扑态依赖于物理系统的整体拓扑性质而抗局域微扰破坏；（ii）对任意子的辫子操作是离散的幺正变换，一个任意子只能围着另一个转一圈或者不转，没有其他情况，故不会出现传统光子方案中的微小偏差，因此方案是容错性强的，可以弥补以前 GHZ定理光子实验检验中探测效率低的漏洞。非阿贝尔任意子的量子非定域性可以选取填充数为12/5的分数量子霍尔液体，通过任意子干涉测量技术来检验。1997 年 Kitaev 提出了一个严格可解的二维格点环面模型，论述了在此模型上实现容错量子计算的可能性。这个模型

和他提出的另外一个蜂巢自旋格点模型是研究拓扑量子计算和拓扑序极其重要的模型，在可容错的拓扑量子计算方面有着重要的应用。Kitaev的环面模型能出现阿贝尔任意子而蜂巢模型能出现非阿贝尔任意子。目前对这两个模型的理论和实验可行方案的研究都非常活跃。传统讨论和证明GHZ 定理的方法是一般先给定量子态（例如 3-Qubit GHZ态）而不涉及具体物理系统的哈密顿量，对它的实验检验往往依靠多光子纠缠，一旦对多光子态进行了测量，则此光子态即被毁坏。2009 年， GHZ 定理在Kitaev环面模型中首次得到证明和实现，从而揭示出此模型的贝尔非定域性。此类研究工作是从一个十分具体的哈密顿量模型出发证明了 GHZ定理，并且对其基态的测量是非破坏性测量，即完成所有构造 GHZ定理所需的网弦算符操作后物理系统的基态保持不变。这是一个十分有趣的结论，提供了研究和检验 GHZ定理的新途径。

六、Hardy 定理

GHZ 定理的逻辑矛盾论证方法很容易推广到三体以上的系统，但它不适用于两体系统。基于此，1993 年Hardy 提出了2-Qubit 系统的Hardy 定理， 亦称为Hardy 佯谬。 与GHZ 定理类似，Hardy 定理是一种重要的研究贝尔非定域性的“无不等式方法”。其重要性被Mermin 评论为“最简单形式的贝尔定理”和“量子力学非凡土壤中最奇特和最美的瑰宝之一”。Hardy 佯谬的奇特之处在于可以构造出三个几率P1， P2 和P3， 当要求这三个几率全部为零时，那么按照经典理论（定域隐变量理论）必然导致第四个几率P4 为零，然而根据量子理论却可以找到非零的几率P4。P4 称为成功几率，对于两比特而言其最大值可达约0.09。尽管这个值很微弱，却显示出量子力学与经典理论的本质不同。随后，两比特Hardy 佯谬的预言得到了基于光子实验的验证。两比特 Hardy 佯谬的一个推广方向是建立任意两体d 维系统的Hardy 佯谬，2013 年人们首次以统一数学形式完成了该项推广工作，并且发现随着维数d 的增大Hardy 佯谬的成功几率逐渐趋近0.5。两比特 Hardy 佯谬的另一个推广方向是建立任意N-Qubit Hardy 佯谬。2004 年Cereceda 首次给出N-Qubit Hardy 佯谬的一种推广，并指出该佯谬最大的成功几率能够达到1/8，并于三粒子最大纠缠态处获得。基于该佯谬，Cereceda同时推导出N-Qubit Hardy不等式，两比特Hardy 不等式恰好等价于CHSH 不等式。2012年Yu 等人正是利用N-Qubit Hardy不等式彻底解析证明了任意N 体纯态情形的Gisin 定理。2018 年，人们建立了N-Qubit Hardy 佯谬最一般的框架理论，而Cereceda 版本的Hardy 佯谬只是其中的一个特例。依据更一般的Hardy 佯谬，其最大成功几率能够达到1/4，并于3-Qubit 最大纠缠态处获得，该结果易于进行实验检验。

Hardy 佯谬给人们提供了许多启示。其中一条重要的启示是：逻辑的推理是否永远无懈可击？或者说逻辑论证的成立是否也有其适用的范围？从逻辑推理的视角， Hardy 佯谬可以重新被表述如下：我们把A 小于B 的几率事件记为P（A