四面体体积公式

2024-01-03 03:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

摘要：本文将推导出一些四面体的体积公式，这些体积公式会涉及到棱长、线线角、线面角、二面角、表面三角形面积等相关元素。

四面体是由不在同一平面的四点所连接成的四个三角形包围起来的立体图形，因此，有时候我们也称为三棱锥，而棱锥的体积等于与其等底同高的棱柱的体积的三分之一，而棱柱的体积等于底面积乘以高，因此四面体的体积就等于底面积乘以高的三分之一，这便是求解四面体体积的基本公式。

我们做一下简要的说明，体积与面积一样既是数学上的概念，也是物理上的概念，大致意思就是物体所占空间的多少，而空间这个概念是三维的，因此只有具备三维的几何体（或物体）才具有体积，也就是说一个点（0维），一条直线（1维），一个平面图形（二维）都没有体积。我们把边长为1的正方体的体积规定为1个单位体积，并以此来度量其余几何体的体积，于是很自然的，一般的正方体体积就是边长的三次方，长方体的体积就是长乘以宽乘以高，棱柱就是底面积乘以高。

接下来，我们将从基本公式出发，推导出一些实用的体积公式。

如上图所示的四面体O-ABC，由O点出发的线线角、线面角、二面角的记法保持不变，请参看《四面体空间角公式》，下文中关于这些角的公式都来自此文。

我们作OO' $\bot$ 面ABC与O'，即O'是O在面ABC上的垂直投影，作 $O'D\bot AB$ 于D，连接OD，或者是做 $OD \bot AB$ 于D，连接O'D，两种做法都可以，因为这就是三垂线定理，也是我们作二面角的平面角的基本作法，于是 $\angle OCO'$ 就是二面角O-AB-C的平面角。

我们记三角形OAB的面积为 S_c ，三角形OBC的面积为 S_a ，三角形OAC的面积为 S_b ，三角形ABC的面积为，OA的长为a，OB的长为b，OC的长为c，AB的长记为c'，BC的长记为a'，CA的长记为b'，四面体体积记为V。

由基本公式，四面体O-ABC的体积为： $V_{o-ABC} = \frac{1}{3} S \cdot OO'$ 。

而在直角 $\triangle OO'D$ 中， $OO' = OD \cdot sin \angle ODO'$ ，

而在 $\triangle OAB$ 中，OD是其AB边上的高，于是 $OD = \frac{2S_c}{AB}$ ，

于是 $V_{o-ABC} = \frac{1}{3} S \cdot OO' = \frac{1}{3} S \cdot OD \cdot sin \angle ODO' = \frac{2}{3} \cdot \frac{S\cdot S_c}{AB} \cdot sin \angle ODO'$ 。

我们记此公式为四面体体积公式二。简单描述一下这个公式就是：四面体的体积等于其上两个面的面积与其所成二面角正弦值的乘积除以这两个面共棱的长度的三分之二。

此公式二可以看成是三角形面积公式二的推广。

于是我们把这个公式中的两个面换成顶点O处的三个面，用我们前面约定的符号，则有：

$V = \frac{2}{3} \cdot \frac{S_b \cdot S_c}{a} \cdot sin A = \frac{2}{3} \cdot \frac{S_c \cdot S_a}{b} \cdot sin B = \frac{2}{3} \cdot \frac{S_a \cdot S_b}{c} \cdot sin C$ ，

于是有： $\frac{aS_a}{sinA} = \frac{bS_b}{sinB} = \frac{cS_c}{sinC}$ ，

这可以看成是三角形正弦定理的一种推广。

由于 $S_b = \frac{1}{2} acsin\beta$ ， $S_c = \frac{1}{2} absin\gamma$ ，

于是 $V = \frac{2}{3} \cdot \frac{S_b \cdot S_c}{a} \cdot sin A = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{1}{2} acsin\beta \cdot \frac{1}{2} absin\gamma }{a} \cdot sin A = \frac{1}{6}abcsin\beta sin\gamma sinA$ ，

而由四面体空间角的导出公式 $sin\beta sin\gamma sinA = k$ ，

所以 $V = \frac{1}{6}abck$ ，其中 $k = \sqrt{1-cos^2\alpha -cos^2\beta -cos^2\gamma + 2cos\alpha cos\beta cos\gamma } = 2\sqrt{sinpsin(p-\alpha) sin(p-\beta) sin(p-\gamma )}$ 。

我们记为四面体体积公式三。

由于k是连接三种空间角的媒介，因此k拥有这三种角之间组合的多种变化，因而公式三具有十分灵活的应用，甚至可以用体积来求解这些角度。

对于k，我们还有一种行列式的表达方式：

$k = \sqrt{\begin{vmatrix} 1 & cos\alpha & cos\beta \\ cos\alpha & 1 & cos\gamma \\ cos\beta & cos\gamma & 1\\ \end{vmatrix}}$

读者可以自行利用三阶行列式展开进行验证，这里就不做演示了。

于是公式三可以用行列式来表达： $V = \frac{1}{6} abc \sqrt{\begin{vmatrix} 1 & cos\alpha & cos\beta \\ cos\alpha & 1 & cos\gamma \\ cos\beta & cos\gamma & 1\\ \end{vmatrix}}$ 。

由于公式三中的三个角度的余弦值完全可以由对应三角形的余弦定理得到，因此，我们可以消去角度，得到一个完全由六条棱长表达的体积公式，其中的运算比较复杂，读者做好准备。

分别在 $\triangle OAB$ ， $\triangle OBC$ ， $\triangle OCA$ 中利用余弦定理，可得：

$cos\gamma = \frac{ a^2 + b^2 - c'^2}{2ab}$ ， $cos\alpha = \frac{ b^2 + c^2 - a'^2}{2bc}$ ， $cos\beta = \frac{ c^2 + a^2 - b'^2}{2ac}$ ，

代入到行列式的公式里，可得：

$V = \frac{1}{6} abc \sqrt{ \begin{vmatrix} 1 & cos\alpha & cos\beta \\ cos\alpha & 1 & cos\gamma \\ cos\beta & cos\gamma & 1\\ \end{vmatrix}}$ $= \frac{1}{6}abc \sqrt{ \begin{vmatrix} 1 & \frac{ b^2 + c^2 - a'^2}{2bc} & \frac{ c^2 + a^2 - b'^2}{2ac} \\ \frac{ b^2 + c^2 - a'^2}{2bc} & 1 & \frac{ a^2 + b^2 - c'^2}{2ab} \\ \frac{ c^2 + a^2 - b'^2}{2ac} & \frac{ a^2 + b^2 - c'^2}{2ab} & 1 \\ \end{vmatrix}}$ $= \frac{1}{12} \sqrt{\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2a^2 & b^2 + c^2 - a'^2 & c^2 + a^2 - b'^2 \\ b^2 + c^2 - a'^2 & 2b^2 & a^2 + b^2 - c'^2 \\ c^2 + a^2 - b'^2 & a^2 + b^2 - c'^2 & 2c^2 \\ \end{vmatrix}}$ $= \sqrt{ \frac{1}{288} \begin{vmatrix} 0 & c'^2 & b'^2 & a^2 & 1 \\ c'^2 & 0 & a'^2 & b^2 & 1 \\ b'^2 & a'^2 & 0 & c^2 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}}$

我们记此公式为四面体体积公式四。可以看成是秦九韶公式在四面体中的推广（顺便提一下，秦九韶公式也可以写成行列式形式，这个日后会说明。），我们将上面的三阶行列式展开可得：

$V = \frac{1}{12} \sqrt{D_a + D_b + D_c - D}$

其中：

D_a = (b^2 + c^2 - a^2 + b'^2 + c'^2 - a'^2)a^2a'^2 ，

D_b = (a^2 + c^2 - b^2 + a'^2 + c'^2 - b'^2)b^2b'^2 ，

D_c = (a^2 + b^2 - c^2 + a'^2 + b'^2 - c'^2)c^2c'^2 ，

D = a^2b^2c^2 + a^2b'^2c'^2 + a'^2b^2c'^2 + a'^2b'^2c^2 。

我们再来看一下四面体体积的解析公式。

前文说了，不共面的四点决定一个四面体，当然这四个点也不能有重合的情况，我们设这四个点为 (x_i,y_i,z_i)(i=1,2,3,4) ，于是根据空间三个向量的混合积的几何意义，可得：

$V = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \\ \end{vmatrix} = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix}$ 。

显然这也是三角形解析公式的推广，仅仅只是增加了一个维度。

在《三角形的面积公式八叙》中，我们得出了由三条直线所在的方程直接求解这三条直线的三个交点所组成的三角形面积公式，同样，我们也可以在立体几何中得到直接推广的四面体体积公式。

我们设空间中的四个平面方程为： $\Sigma_i:A_ix+B_iy+C_iz+D_i = 0,(i=1,2,3,4)$ ，它们两两相交，有六条交线，三三相交于一个公共点，简单来说就是，四面体四个面所在的平面方程，那么这个四面体的体积为：

$V = \frac{1}{3}\left| \frac{\begin{vmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1\\ A_2&B_2&C_2&D_2\\ A_3&B_3&C_3&D_3\\ A_4&B_4&C_4&D_4\\ \end{vmatrix}^{3} }{\begin{vmatrix} A_1&B_1&C_1\\ A_2&B_2&C_2\\ A_3&B_3&C_3\\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_2&B_2&C_2\\ A_3&B_3&C_3\\ A_4&B_4&C_4\\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_3&B_3&C_3\\ A_4&B_4&C_4\\ A_1&B_1&C_1\\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_4&B_4&C_4\\ A_1&B_1&C_1\\ A_2&B_2&C_2\\ \end{vmatrix}} \right|$ 。

由于我们设定了四个平面是四面体的四个面，因此分母的每一项都不会为0。

有时候，我们会需要求解一些特定的四面体体积，我们在此给出。

正四面体的体积公式：

所谓正四面体，即四面体的四个面都是正三角形，六条棱长都相等，设为a，则其体积为： $V = \frac{\sqrt{2} }{12}a^3$ ，只需将 $\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ}$ 代入到公式三中即可。

正三棱锥的体积公式：

所谓正三棱锥，即底面是正三角形，高所在的顶点的底面投影正好是底面的中心，用本文中的符号表达就是 $\alpha =\beta =\gamma$ ， a=b=c ，同样代入到公式三中，可得其体积为： $V = \frac{1}{6}a^3\sqrt{1-3cos^2\alpha +2cos^3\alpha }$ 。

顶角相等底面是斜面的三棱锥：

与正三棱锥不同地方在于 $a\ne b\ne c$ ，其体积为： $V = \frac{1}{6}abc\sqrt{1-3cos^2\alpha +2cos^3\alpha }$ 。

三个顶角之和等于 $180^{\circ}$ 的三棱锥：

即 $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ ，此时，由三角形内角的余弦等式： $cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma + 2cos\alpha cos\beta cos\gamma - 1= 0$ ，代入公式三中，则有： $V = \frac{1}{3}abc\sqrt{cos\alpha cos\beta cos\gamma }$ 。

总结：四面体是三角形在空间中的推广，因此其体积的求法与三角形的面积有着一定的类似关系，这种关系在解析几何中表达得最为直观，这也是为什么现代几何学对平面几何和立体几何（统称为欧几里得几何，或简称欧氏几何，学术一点的说法叫做二维和三维的线性空间）的理论描述使用解析几何方法的原因。四面体的元素数量比起三角形来几乎是翻倍的，也就导致了其体积公式表达的复杂性，本文通过几个公式的推导想要说明的是，复杂的几何体都是可以分解为简单的几何体来演算的，最根本的还是要回归到三角形中去，这叫做降维，这也是我们在教材中只学习其基本体积公式的原因。

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