时间序列分析

2023-08-16 17:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

时间序列分析滞后算子2.1 时间序列算子2.1.1 什么是时间序列算子2.1.2 时间序列算子的分类及运算2.1.3 滞后算子多项式:一阶差分方程 2.2 P阶差分方程的另一种解法2.2.1 p阶滞后算子多项式2.2.2 特征多项式与滞后算子多项式2.2.3 p阶差分方程求解上一章运用矩阵代数对线性差分方程进行了求解，事实上运用时间序列算子求解差分方程更加方便。

滞后算子 2.1 时间序列算子 2.1.1 什么是时间序列算子

我们将函数y = f (x, w) 视为输入数字x ， w ，输出一个新数字y 的操作。那么可以将时间序列算子视为输入时间序列 x t , w t {x_t}, {w_t} xt,wt ,输出一个新的时间序列 y t {y_t} yt的操作。

2.1.2 时间序列算子的分类及运算加法算子：加法运算乘法算子：交换律、结合律、分配律滞后算子：表示滞后一期的运算如 y t = L x t = x t − 1 y_t=Lx_{t}=x_{t-1} yt=Lxt=xt−1 2.1.3 滞后算子多项式:一阶差分方程

上一章提到的差分方程都可以写成滞后算子的形式，并且运用因式分解进行求解。

一阶差分方程： y t = ϕ y t − 1 + w t y_t=\phi y_{t-1}+w_t yt=ϕyt−1+wt滞后算子形式： y t = ϕ L y t + w t y_t = \phi Ly_t+w_t yt=ϕLyt+wt 等价于 ( 1 − ϕ L ) y t = w t (1- \phi L)y_t = w_t (1−ϕL)yt=wt两边同乘 ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + … + ϕ t L t ) (1+\phi L+\phi^2 L^2+…+\phi^t L^t) (1+ϕL+ϕ2L2+…+ϕtLt) 可得：

( 1 − ϕ t + 1 L t + 1 ) y t = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + … + ϕ t L t ) w t (1-\phi^{t+1} L^{t+1})y_t=(1+\phi L+\phi^2 L^2+…+\phi^t L^t)w_t (1−ϕt+1Lt+1)yt=(1+ϕL+ϕ2L2+…+ϕtLt)wt

一阶差分方程的解为：

y t = ϕ t + 1 y − 1 + ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + … + ϕ t L t ) w t y_t=\phi^{t+1}y_{-1}+(1+\phi L+\phi^2 L^2+…+\phi^t L^t)w_t yt=ϕt+1y−1+(1+ϕL+ϕ2L2+…+ϕtLt)wt

y t = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + … + ϕ t L t + … ) w t y_t=(1+\phi L+\phi^2 L^2+…+\phi^t L^t+…)w_t yt=(1+ϕL+ϕ2L2+…+ϕtLt+…)wt

注：如果序列是有限的，当 ϕ < 1 \phi

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