我先占个坑，明天给题主一个满意的推导过程。从最直观的思维开始推导。好啦好啦，刚回到家，开更开更。关于泰勒公式，是将一个存在n阶导数的原函数展开成多项式，我们首先看一下这个泰勒公式：

我们最直接的疑问是，为什么要展开，即使展开，我们为什么要展开成多项式的形式？或者更直接一些，泰勒到底是如何思考这个问题的？

那就让我们回到最直观的思维，我们想象这样一个场景：两辆车，一辆兰博基尼，一辆QQ，这两辆车同时停在起跑线上，跑道是无限长的笔直公路，准备比赛，我提出一个问题，十秒后，他俩跑的距离是一样的吗？这个问题可真直接，来我们来解决一下，我们目前已知的条件只有，两车的初速度都是0，但是显然我们都知道兰博基尼发动机可真强劲，不是qq能比的，发动机越强劲，那么加速度就越大，我们假设两辆车加速度都是一个常数，那么就是这样：

显然我们就可以知道，这种情况下，十秒后，兰博基尼早把qq甩得没影了。于是qq车主发奋图强，改装发动机，让qq的加速度和兰博基尼一模一样，那么由于他们加速度一模一样，那么很显然十秒后，两车所跑得距离也是一样，这很简单对吧。但是实际情况往往比较复杂，复杂在哪里呢？那就是，加速度他不是个常量，是个随时间变化的函数，也就是说，加速度也有个导数，那个导数就是加速度的变化，复杂的是，加速度的加速度也不是个常数，他也在随时间变化，于是加速度的加速度也有个导数，叫加速度的加速度的加速度······没完没了可真要命，不过有一点很关键，这也是泰勒想到一个关键的点，那就是，只要两个事物的初始的速度相同，初速度随时间变化的情况相同，初速度随时间变化的变化相同，初速度随时间变化的变化的变化相同······如果推到极限，那么这两者的运动轨迹就会无限相同，对吗？这是很直观的，我们模仿一个事物，想要模仿的越像，就不能仅仅模仿他的表面，还要模仿他的变化，如果他的变化都在变，我们就跟着变，只要每个细节都相同，那我们就真假莫辨。

我们都知道导数代表了就是当前的变化率，导数的导数就代表变化率的变化率，导数的导数的导数就是变化率的变化率的变化率······所以我们就知道，泰勒想到这里的时候就已经想通了，我要找个东西来模仿原函数，让他俩各阶导数都相同。可是什么东西才会保证有n阶导数呢？不管泰勒花了多少功夫，但是最终结果就是，泰勒发现，多项式完全符合他的要求，这家伙很听话，原函数能展开m阶，我就来一个最高阶为m的多项式，原函数为n阶，我就来个n阶的多项式：

是吧，我们只要调整我们多项式的最高阶数，我们就能求导多少次，将其每阶导数取相等于原函数的每阶导数，就能保证他们各个阶次的变化都相同，来达到模仿原函数的目的。

可能你又要问了，能随便取n阶导数的又不止多项式一个，比如还有e^x，他这家伙多好啊，不仅可以无限展开，而且！每次展开都是e^x！

但是冷静冷静！多项式还有一个谁都比不上的好处。那就是好求！我给你一个x=2.3，带进多项式虽然麻烦点，但是还是能求的，带进e^x你试试，e^2.3？我倒是要看看你打算怎么求它………（其实可以展开成多项式哈哈哈哈）

你还没有搞清楚？放心我们来实际模拟一次看看。我们假设有一辆可恶的汽车，他的速度曲线是y=e^x，也就是这样：

，我问你，1.5秒后，这破车速度是多少？如果你不查表，这题你就只能黑人问号脸了，不过我们刚刚学习了泰勒那套思维，模仿！我们可以取任何一个点开始模仿，不过我们一般取x=0那个点，个人喜好，你也可以去x=1或者x=3.1415926，嗯，只要你吃的很饱没事做的话（实际上这里我们还应该考虑收敛性的问题，但是那不是我们现在的重点，我们现在先假设不管从那里开始都能模仿成功）。好我们来模拟一下，首先在x=0时，速度是e^0=1，他的加速度也就是导数呢？也是e^0=1，好我们就拿可以求导一次的多项式来模拟，也就是g(x)=a0+a1x，对他求一次导是什么呢？

我们说了，我们要模仿x=0这个点e^x的行为，那么首先我么让初始情况相同，同时让这一点的变化相同，那么我们就可以知道：

也就是说我们拿g(x)=1+x来模拟原函数e^x，来我们画图看看模拟的怎么样：

好吧，模拟的好像不太好，而且随着时间的推移，我们的模仿者g(x)=1+x，越来越不像e^x了，这是为啥呢？显然这是因为我们虽然保证在x=0处两者初始情况相同，变化率也相同，但是我们没有保证变化率的变化率相同，这就导致越来越不像了，那么，我们如果让变化率的变化率也相同呢？也就是让二阶导数相同，会发生什么呢？要让二阶导数相同前，我们要保证我们的多项式能求二阶导，显然之前那哥们只能求一阶导，不满足我们的要求了，于是我们找来第二个模仿者，这家伙可以求二阶导数，他长这样：

我们还是那个思路，让模仿者初始条件、变化率、变化率的变化率和原函数相同，于是：

这家伙牵上去溜溜！看看模仿的多像：

好家伙，果然比第一个更像了，怎么样更像一点呢？--------------我相信大家已经了解了整个推导过程，明天我带大家来分析那个拉格朗日余项，让大家清楚这玩意究竟是什么-----------------------

继续继续。 好我们知道了泰勒推导公式的整个思考过程，但是我们最终运用到实际工作中的时候会遇到一个什么问题呢？那就是关于那个无限展开产生的问题。因为我们是人类，在人类的生活中，你不可能实际上去真正的实现无限展开，好在我们能容忍一定程度上的误差，所以我们可以将一个原函数泰勒展开20次，那样虽然和原本的值差了一些但是肯定差的特别小，问题是，人类无法忍受自己不知道那个误差到底是多少，换句话说，人类接受误差，但是必须知道这个误差的大小。 在这个关键的当口，有一个聪明人跳了出来，它叫做佩亚诺（也有翻译成皮亚诺），他搞出了一个皮亚诺余项。

说起佩亚诺，可能很多同学只在泰勒公式中听过这个佩亚诺余项，但是佩亚诺的贡献可不仅限于此，还记得你小时候问过的坑爹问题“1+1为什么等于2？”吗，这是佩亚诺公理哟。 好不扯远了，佩亚诺跳了出来，来研究一下如何表示这个误差，他是这么想的，我们这些人类啊，只能将泰勒公式展开到第n项，那么第n+1项到第无穷项的和就是我们的误差，这个 第n+1项到第无穷项的和 与 第n项之间存在什么关系呢？佩亚诺进行了如下演算：

图片怎么上传不上来啊！！！！

嗯，佩亚诺看到这里，他估计和我们一样有点不知所措，“我应该如何利用这个商来描述这个误差呢？”佩亚诺陷入了沉思……但是佩亚诺不愧是佩亚诺，灵光一闪之间，他意识到，当x->a时，这个商是0！（这个0实际上是需要证明的，这也是皮亚诺所做的主要工作，因为无穷多个无穷小相加的结果也有可能不是0，这个证明大家可以自己搜一下，这里就不展开了）于是他重新整理了一下这个式子：

看着好像有点熟悉……这个定义………这个极限…………啊！好像是高阶无穷小的定义！怎么定义高阶无穷小来着？(看黄线部分)

所以，就将第n项后所有的项(误差项)的和定义为：

这就是佩亚诺余项的来历咯。虽说佩亚诺十分伟大，但是这个误差余项可并不那么完美，从推导的过程我们不难看出，这个佩亚诺误差余项通过 高阶无穷小 只是描述了误差项在x趋近于a的行为，可以说，当x越远离a，这个误差余项就越不准确，不过相比我们完全无法判断误差的那种情况，推导出佩亚诺余项已经让我们迈出了一大步。

明天就到了泰勒最后的大招，拉格朗日余项了，同济数学上有对拉格朗日余项严格的推导，不过我推导的过程和他不一样，我将详细介绍我推导中的思考。

严格的演绎推理后，我自己的过程是有问题，在一个小步骤上我的模糊导致了推倒结果的偏离，我还是用同济课本上的方法来完成拉格朗日余项的推导。再次经过演绎推理后，我最终还是用自己的方法推导出来了，同济的方法我也贴上来，之后我会讲解我的推理思路，大家根据自己的思维习惯进行选择。-----------------最后的分割线！-----------------

还是同样的思路，拉格朗日也想到，我只能泰勒展开n项，那被我忽略的第n项到第无穷项的和就是误差项了，于是拉格朗日在草稿纸上写下了这些误差项：

为了简化这个表达式，我们可以写成这样：

拉格朗日抓着头想，皮亚诺那小子太狡猾了，只考虑x无穷趋紧于x0的情况，而我，要在这个基础上迈出重要的一步。我们永远无法知道，究竟是怎样的创造性思维让拉格朗日观察出了G(x)居然存在这样一种特性：

然后我们引入用罗尔定理推广出的柯西中值定理：

那么，柯西中值定理和之前那个G(x)的观察结果之间有怎样的关系呢？我们照着葫芦画瓢，来推演一下：

这里我们就发现误差项G(x)可以表示为：

更进一步的，我们可以这样：

于是我们得出最后的结论：

这个推导过程让人有一种小孩看雕像的感觉，当小孩看到雕像的时候，惊讶的对雕像家说：“你是怎么知道这个人像在这块石头里面的？！”，小孩不知道人像其实是雕像家一刀一刻的创造出来的，对于这个推导过程，最让人惊奇的是这一步：

为什么这里会想到除以一个(x-x0)的n+1次方，来凑成一个柯西中值定理？同济书上对这关键的一步没有做任何解释，所以我对同济书是不满意的，所以我们不妨讨论一下，雕刻家到底是如何一刀一刻的雕刻出的。接下来，我要用我自己的逻辑来雕刻这个证明。

首先，我也在纸上写出这样的表达式：

我十分清楚我想干什么，我就是想估计出，这个G(x)的范围究竟是多少？我苦思冥想，也观察到了一个现象：

这里不要忘记我们想要干什么，因为很重要，我说100遍：估计G(x) X100（我怎么可能真的说100遍(´･ω･`)。我发现，求导n+1次后，G(x0)不再恒为0，于是我非常苦恼，在纸上随便的写写画画，一不小心我写出这样一个式子：

这是一个非常简单的拉格朗日中值定理的运用，而且这里我们离想要证明的结论也还很遥远，但是我这个时候是有点激动起来了，我接着写下来这样一个式子：

然后我就蹦起来了，我，我我，虽然我得到的是G(x)的n阶导数，但是我能够把它积分回去啊↖(^ω^)↗，于是：

同理我们能够依次往上积分：

看到最后那个G(x)了吗？这不就是我想要的东西吗？

实际上，让我推导出来之后，我立刻理解了同济那个推导的思维，我是积分回去，它是求导出来，我们俩种方式是从两个不同的方向往同一个目标推进。