初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型 |
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cc518学习网精品学习资料总目录 在初中数学《全等三角形》中有许多的模型,这些模型是数学重要知识点的总结与运用,很多几何题中都有数学模型的影子,掌握好这些模型,孩子们学习几何就会比较简单,成绩不会差。 今天我要与大家分享是“一线三等角”模型,那么什么是“一线三等角”?顾名思义,一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。这个模型贯穿初中几何的始终,初三讲《相似三角形》时这也是一个非常重要的知识点。下面我们具体分析一下这个模型。 例题一:如图∠1=∠2=∠3,且它们的顶点在直线AB上,这就是一个一线三等角模型。 模型分析: 因为∠1=∠2=∠3, 所以: ∠ACE+∠AEC=∠CFB+∠BFC=∠ACE+∠BCF 易得:∠ACE=∠CFB,∠AEC=∠FCB 进而有△AEC∽△BCF(这是相似三角形一个重要的判定,我们将在初三学习), 如果再添加一组对应边相等,如CE=CF,或者是AE=BC, 那么就有△AEC≌△BCF. 模型性质总结 1、题目中只要满足“一线三等角”的条件,必相似; 2、题目如果两个条件:“一线三等角”和对应边相等的两个条件,必全等。 模型常见背景: “一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等。 1. 正方形ABCD,有一个直角的顶点在边AB上 2. 等边三角形ABC,有一个60°角的顶点在边AB上 3. 等腰直角三角形ABC,有一个45°角的顶点在边AB上 4.一线三直角 ① ∠ACB=90°,AD⊥CE,BE⊥CE ②AD⊥AC,EC⊥AC,DC⊥EC 典型例题 (1) 如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE. 【解析】 ∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠BDA=∠CEA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD 又∵AB=AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE; (2)如图,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. 【解析】 (2)∵∠BDA=∠BAC=α ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α ∴∠DBA=∠CAE ∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE; (3) 拓展与应用:如图,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状. 【解析】 (3)易知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE, ∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE,∵BF=AF ∴△DBF≌△EAF(如下图所示) ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF为等边三角形. 方法提炼 1 若题目中有一线三等角,可以直接证明相似或全等实现边与角的转化; 2 若题目中没有给出一线三等角,可以根据需要来构造。 综上所述,“一线三等角”是一个非常重要的模型,孩子们遇到这种情况时千万不要惊慌,就朝着三角形全等和相似考虑,肯定是没有问题的 |
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