近世代数理论基础20：子环·理想和商环

您所在的位置：网站首页 › 一环的定义 › 近世代数理论基础20：子环·理想和商环

近世代数理论基础20：子环·理想和商环

2024-07-12 00:00| 来源: 网络整理| 查看: 265

子环·理想和商环子环

定义：设 $(R,+,\cdot)$ 是一个环,S是R的一个非空自己,若S对R的运算也作成一个环,则称S为R的一个子环,R为S的扩环

类似可定义子整环,子除环,子域

例：

1.对任一环R, $\{0\}$ 和R本身是R的子环,称为R的平凡子环

2.设 $(Z,+,\cdot)$ 是整数环,2Z是全体偶数的集合,易证2Z是Z的一个子环

3.设 $R\oplus R=\{(a,b)|a,b\in R\}$ , $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c,b=d$ ,定义加法和乘法： $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ , $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ ,则 $R\oplus R$ 是环, $S=\{(a,0)|a\in R\}$ 是 $R\oplus R$ 的子环

显然,S为 $R\oplus R$ 的一个非空子集, $\forall (a,0),(b,0)\in S$ ,有 $(a,0)+(b,0)=(a+b,0)\in S$ , $(a,0)(b,0)=(ab,0)\in S$ ,故 $R\oplus R$ 上的加法和乘法定义了S上的加法和乘法

显然加法满足结合律和交换律, $(0,0)\in S$ 为S中加法的零元, $\forall (a,0)\in S$ , $\exists (-a,0)\in S$ ,使 $(a,0)+(-a,0)=(0,0)$ ,故S对加法作成一个交换群

$R\oplus R$ 是环,故乘法满足结合律、分配律

S为 $R\oplus R$ 的子集,且对加法和乘法封闭,则也满足乘法的结合律、分配律

S为 $R\oplus R$ 的子环

判断

定理：设 $(R,+,\cdot)$ 是一个环,S是R的一个非空子集,则S是R的子环的充要条件为：

1. $\forall a,b\in S$ ,有 $a-b\in S$

2. $\forall a,b\in S$ ,有 $ab\in S$

证明：

$必要性$

$若S是R的子环,则条件1,2显然成立$

$充分性$

$若S满足条件1,2$

$则环R的加法和乘法分别定义了S上的加法和乘法$

$由子群的判断定理$

$(S,+)作成了(R,+)的一个子群$

$下证S的乘法满足结合律、分配律$

$S是R的一个子集$

$对R中任意元都成立的运算律对S的元也成立$

$\therefore S作成一个环$

$\therefore S是R的子环\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设 $M_2(R)$ 为实数域上所有2阶方阵对矩阵的加法和乘法所作成的环,设 $S=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}|a,b,d\in R\}$ ,则S是 $M_2(R)$ 的一个子环

对S中任意两个矩阵 $\begin{pmatrix}a_1&b_1\\0&d_1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}a_2&b_2\\0&d_2\end{pmatrix}$ ,有

$\begin{pmatrix}a_1&b_1\\0&d_1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_2&b_2\\0&d_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-a_2&b_1-b_2\\0&d_1-d_2\end{pmatrix}\in S$

$\begin{pmatrix}a_1&b_1\\0&d_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&b_2\\0&d_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1a_2&a_1b_2+b_1d_2\\0&d_1d_2\end{pmatrix}\in S$

$S$ 是 $M_2(R)$ 的一个子环

设 $T=\{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}|a,b,c\in R\}$

则T对乘法不封闭,不是 $M_2(R)$ 的子环

理想

定义：设 $(R,+,\cdot)$ 是环,I是R的子环,若 $\forall a\in I,x\in R$ ,有 $ax,xa\in I$ ,则称I为R的理想

对任意环R,由定义, $\{0\}$ 和R本身都是环R的理想,称为平凡理想

例：

1.设R为整数环 $(Z,+,\cdot)$ , $\forall m\in N$ , $mZ=\{km|k\in Z\}$ ,则mZ是环R的理想

2.设 $F[x]$ 是数域F上的多项式环, $S=\{a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n|a_i\in F,n\in Z_+\}$

即S为所有常数项为零的多项式的集合,由多项式运算规则

$\forall f(x),g(x)\in S$ ,有 $f(x)-g(x)\in S$ , $\forall u(x)\in F[x]$ ,有 $u(x)f(x)=f(x)u(x)\in S$ ,故S是F[x]的理想

3.设 $L=\{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}|a,b\in R\}$ 是 $(M_2(R),+,\cdot)$ 的子集,则L是 $M_2(R)$ 的子环,但不是理想

$\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\u&v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax&ay\\bx&by\end{pmatrix}\notin L$

在环R中,定义它的子集运算：设S,T是环R的两个非空子集

$S+T=\{x+y|x\in S,y\in T\}$

$ST=\{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_my_m|x_i\in S,y_i\in T,1\le i\le m,m\in Z_+\}$

若I,J是环R的理想,则 $I+J$ , $I\cap J$ 和 $IJ$ 都是R的理想

主理想

设R是一个环, $a\in R$ ,R中一切如下形式的元组成元的集合S： $\sum\limits_{i}x_iay_i+sa+at+na$ ,其中 $x_i,y_i,s,t\in R$ , $n\in Z$ , $\sum\limits_{i}$ 表示对有限个 $x_iay_1$ 形式的元求和,则S作成R的理想

$\forall x,y\in S$ ,显然 $x-y,xy\in S$

$\forall r\in R$

$rx=\sum\limits_{i}(rx_i)ay_i+(rs)a+rat+(nr)a$

$xr=\sum\limits_{i}x_ia(y_ir)+sar+a(tr)+a(nr)$

显然 $rx,xr\in S$ ,故S是R的理想,称S为由元a生成的理想,记作 $S=(a)$

由一个元生成的理想称为主理想,显然 $(a)$ 是R中包含a的最小理想

当 $R$ 是交换环时, $(a)=\{ra+na|r\in R,n\in Z\}$

当R是含幺环时, $(a)=\{\sum\limits_{i}x_iay_i|x_i,y_i\in R\}$

当R是含幺交换环时, $(a)=\{ra|r\in R\}$

例：

1.在 $(Z,+,\cdot)$ 中,整数m生成的理想为 $(m)=\{km|k\in Z\}=mZ$

2. $S=\{a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n|a_i\in F,n\in Z_+\}$ 是 $F[x]$ 的一个主理想, $S=(x)$

商环

理想在环中的作用类似于正规子群在群中的作用

设I是环 $(R,+,\cdot)$ 的一个理想,则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个正规子群,用I对R作陪集分解,以 $\overline{x}$ 表示x所在的陪集,则

$\overline{x}=\{x+r|r\in I\}$

令 $R/I=\{\overline{x}|x\in R\}$ 表示所有陪集的集合,则 $R/I$ 对加法运算 $\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$ 作成一个交换群

定义 $R/I$ 中乘法运算： $\overline{x}\overline{y}=\overline{xy}$

先证这个样定义的运算结果与代表元的选取无关

设 $x_1\in \overline{x},y_1\in \overline{y}$ ,则 $\exists r_1,r_2\in I$ ,使 $x_1=x+r_1,y_1=y+r_2$

故 $x_1y_1=(x+r_1)(y+r_2)=xy+r_1y+xr_2+r_1r_2$

I是理想, $r_1y+xr_1+r_1r_2\in I$ ,故 $x_1y_1-xy\in I$

即 $\overline{x_1y_1}=\overline{xy},\overline{x_1}\overline{y_1}=\overline{x}\overline{y}$

所以以上规定的 $R/I$ 中的乘法是合理的

$(\overline{x}\overline{y})\overline{z}=(\overline{xy})\overline{z}=\overline{xyz}$

$\overline{x}(\overline{y}\overline{z})=\overline{x}(\overline{yz})=\overline{xyz}$

故 $R/I$ 中的乘法适合结合律

因为 $R/I$ 中的加法和乘法都是用陪集的代表元的相加和相乘规定的,R中元所适合的运算法则可转移到 $R/I$ 中,故 $R/I$ 中的加法和乘法也适合左、右分配律,故 $R/I$ 关于所定义的加法和乘法作成一个环,称为R关于理想I的商环

定义：设R是一个环,I是R的一个理想,R作为加群关于I的商群 $R/I$ 对乘法 $\overline{x}\overline{y}=\overline{xy}$ 所作成的环,称为R关于I的商环,或称为R模I的同余类环,记作 $R/I$

注：一般的同余类环是整数的同余类环的推广

例：

1.设 $(Z,+,\cdot)$ , $I=(n)=nZ$ 是由正整数n生成的主理想,则由商环： $Z/nZ=\{k+nZ|0\le k\le n-1\}$ ,构造这个商环时,利用了Z的主理想 $(n)=nZ$ ,Z中两个元a和b在同一个陪集 $\Leftrightarrow a-b\in (n)$