函数对称性常见公式 |
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![]() 函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需分析函数一侧的性质即可,从而得到整个函数的性质。主要体现在以下几点: (1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称; (2) 可利用对称性求得某些点的函数值; (3) 在作图时,只需要作出一侧的图像,另外一侧利用对称性即可画出; (4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称; (5) 在轴对称的函数中,关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的;在中心对称的函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。 轴对称函数轴对称的定义:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 轴对称常见的形式: ![]() 备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于x=0对称 ,则此时f(x)为偶函数 下面只对结论③进行证明: 从“数”的角度证明: ![]() 从“形”的角度证明: ![]() ![]() 函数中心对称定义:如果一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 中心对称常见的形式: ![]() 备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于原点对称,则此时f(x)为奇函数 下面只对结论③进行证明: 从“数”的角度证明: ![]() 从“形”的角度证明: ![]() ![]() ![]() 对结论①进行证明: 从“数”的角度进行证明: ![]() 备注:要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反 从“形”的角度进行证明: ![]() 对结论②进行证明: 从“数”的角度进行证明: ![]() 备注:要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等 从“形”的角度进行证明: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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