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第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式教学设计一、教学目标1.通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的要求.2.能够运用基本不等式来求代数式的最值，达到数学抽象和逻辑推理水平一的层次.3.能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力，达到数学建模核心素养水平一的层次.二、教学重难点1.教学重点用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.2.教学难点用基本不等式求最大值和最小值.三、教学过程（一）探究一：基本不等式的推导教师：一个重要的不等式：，当且仅当a=b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得，（1）当且仅当a=b时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.证明一：要证①只要证（去分母）②要证②，只要证（移项）③要证③，只要证（配方）④要证④，只要证（平方，非负）⑤显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.证明二：比较法由于的充要条件为a=b，因此，当且仅当a=b时，.探究二：基本不等式的应用例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x，y都是正数，所以（1）当积xy等于定值P时，所以当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值（2）当和x+y等于定值S时，所以当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例1的内容称为最值定理，即（1）当a+b=S时，当且仅当a=b时等号成立.（2）当ab=G时，当且仅当a=b时等号成立.例2设,当为何值时,取得最小值?答案：,即.当时,,当且仅当,即时取等号.故当时,取得最小值.当时,,当且仅当,即时取等号,故当时,取得最小值.综上,当时,取得最小值.例3回答下列问题：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最小值.答案：（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.（2）因为，所以，所以,所以,当且仅当即时，等号成立，故的最小值为8.例4某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量10000不小于30百件时，.若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式;（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？答案：（1）当时，；当时，.（2）当时，，当时，；当时，，当且仅当，即时取等号，，年产量为10百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.（二）课堂练习1.已知正数a,b满足,则的最小值为()A.1B.2C.4D.答案：D解析：因为，所以，所以,当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选D.2.已知,,,则的最小值是()A.3B.4C.D.答案：B解析：由题意得,当且仅当即时，等号成立，则,解得或（舍去），故的最小值是4.故选B.3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件答案：B解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，当且仅当，即时取等号..故选B.4.某汽车制造厂生产某种汽车,第一年的汽车产量为A辆,第二年的汽车产量增长率为x,第三年的汽车产量增长率为y,这两年的年平均增长率为z,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.答案：B解析：由题意得，，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，即.故选B.（三）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.基本不等式；3.基本不等式的推导；4.基本不等式的应用.作业：四、板书设计2.2基本不等式1基本不等式.2基本不等式的推导.3基本不等式的应用.

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