关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) (此为标准形式) 的解法通常有三种: 因式分解法、配方法、求根公式法. 较常用的是第一种和第三种, 且解方程时一般先将方程化为标准形式, 如 $x^2-2=x$ 应化为 $x^2-x-2=0$, 以便于因式分解或用求根公式.

因式分解法是指将二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ 化为 \[ (Ax+B)(Cx+D)=0\] 的形式, 则 \[ Ax+B=0\quad \text{或}\quad Cx+D=0,\] 再解这两个一次方程. 例如, 解方程 $x^2-2x-3=0$, 可先将方程化为 \[ (x+1)(x-3)=0,\] 则 \[ x+1=0\quad \text{或}\quad x-3=0,\] 解得 $x=-1$ 或 $3$ (也可以写成 $x_1=-1$, $x_2=3$).

使用因式分解法时, 需要熟练掌握 二次三项式因式分解 的常用方法.

解关于 $x$ 的方程:

(1) $x^2+6x+5=0$;  (2) $x^2-4x-21=0$;

(3) $3x^2+11x=-6$;  (4) $(x+2)(x+1)=6$.

(1) 因式分解得 \[ (x+1)(x+5)=0\] 所以 $x=-1$ 或 $-5$.

(2) 因式分解得 \[ (x+3)(x-7)=0\] 所以 $x=-3$ 或 $7$.

(3) 先移项将等号右边化为 $0$ (即将方程化为标准形式), 再因式分解得 \[\begin{aligned} 3x^2+11x+6&=0,\\ (3x+2)(x+3)&=0, \end{aligned}\] 所以 $x=-\dfrac23$ 或 $-3$.

(4) 先将方程化为标准形式, 再因式分解得 \[\begin{aligned} x^2+3x-4&=0,\\ (x+4)(x-1)&=0, \end{aligned}\] 所以 $x=-4$ 或 $1$.

解关于 $x$ 的方程:

(1) $x^2-11x+30=0$;  (2) $x^2-x=12$.

(1) $x=5$ 或 $6$;  (2) $x=-3$ 或 $4$.

除用于因式分解外, 配方法 也可用于解一元二次方程. 仍以方程 $x^2-2x-3=0$ 为例, 用配方法求解, 则 \[(x-1)^2=4,\quad\text{即}\quad x-1=\pm2,\] 所以 $x=-1$ 或 $3$.

(1) 由 $x^2=a$ ($a>0$) 应得 $x=\pm\sqrt{a}$, 即不要遗漏负根;

(2) 使用配方法解方程时, 变形过程与因式分解时的过程略有区别, 一般将方程改写为 $(x+m)^2=n$ ($n\geqslant0$) 的形式.

解关于 $x$ 的方程:

(1) $x^2+6x+5=0$;  (2) $x^2-4x-21=0$;

(1) 配方得 \[\begin{aligned} (x+3)^2&=4,\\ x+3&= \pm2, \end{aligned}\] 所以 $x=-1$ 或 $-5$.

(2) 配方得 \[\begin{aligned} (x-2)^2&=25,\\ x-3&= \pm5, \end{aligned}\] 所以 $x=-3$ 或 $7$.

解关于 $x$ 的方程:

(1) $x^2-10x+24=0$;  (2) $x^2-2x=8$.

(1) $x=4$ 或 $6$;  (2) $x=-2$ 或 $4$.

一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) 的求根公式源自配方法. 具体的变形过程为 \[\begin{aligned} x^2+\frac{b}a x+ \frac{c}a &= 0,\\ x^2+\frac{b}a x+ \frac{b^2}{4a^2} &= \frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}a,\\ \biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2}. \end{aligned}\] 所以当 (且仅当) $b^2-4ac\geqslant 0$ 时, \[\begin{gathered} x+\dfrac{b}{2a}= \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\\ x= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \end{gathered}\] 通常记 $\Delta= b^2-4ac$, 上述求根公式又可写为 (更容易记忆且必须牢记的) \[ x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.\]

上面引进的 $\Delta= b^2-4ac$ 也称为方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) 的判别式, 因为前面变形过程的最后一行表明, $\Delta$ 的正负号可以判别方程实根的个数: