韦达定理给出了一般一元三次方程

ax³+bx²+cx+d=0根与系数之间的关系：

我们之前令x=u+v，所以有：

x³-3uvx-（u³+v³）=0

上述方程x³-3uvx-（u³+v³）=0，

可以看做是令一般一元三次方程的

a=1，b=0，c=-3uv，d=-（u³+v³）后得到的。

∴有

将x1=u+v代入③式④式，得：

转化，得：

将⑤式代入⑥式，得：

化简：

移项：

把右边的平方展开：

化简：

于是我们得到了一个二元二次方程组：

根据韦达定理，可以依据上述关系，构建以x2、x3为根，以T为未知数的一元二次方程：

那么根据求根公式有：

化简得：

那么

但是这样表达很繁琐，由于

频繁出现，因此我们可以令

那么x2、x3的表达式变成：

我们再把之前的x1=u+v和这两个等式合在一起：

这就是方程x³+px+q=0的三个根的表达式了。

如果要把它们转化成p、q的代数式：

这里

可以当成两个常数。

如果你不嫌麻烦，还可以：

我们现在已经得出了特殊形式的一元三次方程

x³+px+q=0的根的表达式，那么一般的情况怎么办？

其实很简单，我们只需要把

一般一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0转化为x³+px+q=0的形式就行。

如何转化？我们把ax³+bx²+cx+d=0等式两边同时除以a，再令

那么我们就把方程转化为了y³+py+q=0的形式，其中

我们再用之前的方法求出y的三个根，然后根据x、y的对应关系再求出x的三个根。

这样，我们就可以完美地解出一元三次方程了。

推导（上）：CV4545830