§2 初等函数及其数值计算

一、函数的概念与分类

[函数与反函数]  设D是给定的一个数集.若有两个变量x和y，当变量x在D中取某个特定值时，变量y依确定的关系f也有一个确定的值，则称y是x的函数，f称为D上的一个函数关系，记为y=f(x)，x称为自变量，y称为因变量.当x取遍D中各数，对应的y构成一数集R，D称为定义域或自变数域，R称为值域或因变数域.反过来，若把y视为自变量，x视为因变量，用y写出x的表达式：x=j(y)，则称y=f(x)与x=j(y)互为反函数.

[实变函数与复变函数]  当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.

[一元函数与多元函数]  只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.

[显函数与隐函数]  因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.

[简单函数与复合函数]  若y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数，u=j(x)，则y称为x的复合函数，u称为中间变量，记作y=f[j(x)]，无中间变量的函数称为简单函数.

[有界函数与无界函数]  若存在两个数m, M(m£M)，使m£f(x)£M，对定义域上的任意x都成立，则称f(x)为定义域上的有界函数，m为其下界，M为其上界.若这样的数m和M至少有一个不存在，则称f(x)为定义域上的无界函数.

[单调函数与非单调函数]  若对于区间[a, b]中的任意x1>x2有f(x1)³f(x2)[或f(x1)£f(x2)]，则称f(x)为[a, b]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.

[奇函数与偶函数]  若对于定义域中的任意x恒有，则称f(x)为奇函数；若对于定义域中的任意x恒有，则称f(x)为偶函数.

[周期函数与非周期函数]  若有一实数T¹0，使对定义域中的任意x恒有f(x+T)=f(x)，则f(x)称为以T为周期的周期函数；否则称f(x)为非周期函数.

[单值函数与多值函数]  若对于自变量x的一个值，因变量y有一个而且只有一个值与其对应，则称y为x的单值函数.若对于自变量x的一个值，与其对应的y值不止一个，则称y为x的多值函数.

[初等函数]  幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.

二、幂函数与有理函数

[定义]  形如的函数称为幂函数，式中a为任意实常数.

x的多项式

(a0, a1, L, an为常数，n为自然数)

称为有理整函数.

两个多项式的商

称为有理分式函数.

有理整函数和有理分式函数通称为有理函数，有时用符号R(x)表示.

[幂函数的图形与特征]

方程与图形

特   征

曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x>1时，a越大曲线上升越快.

当a为偶数，函数为偶函数，在区间(0,¥)中为递增函数，在区间(-¥,0)中为递减函数.

当a为奇数，函数为奇函数和递增函数.

曲线通过点(1,1).

当a为负偶数，函数为偶函数，在区间(-¥,0)中为递增函数，在区间(0, ¥)中为递减函数.

当a为负奇数，函数为奇函数和递减函数.

三、指数函数与对数函数

[定义]  形如的函数称为指数函数.

当a=e时，为书写方便，有时把记作expx，把记作exp{f(x)}，等等.

在函数关系式中，若把x视为自变量，y视为因变量，则称y是以a为底的x的对数函数，x称为真数，记作.指数函数和对数函数互为反函数.

[函数图形与特征]

方程与图形

特   征

指数函数

曲线与y轴相交于点A(0,1).

渐近线为y=0.

曲线与x轴相交于点A(1,0).

渐近线为x=0.

[指数运算法则]

[对数的性质与运算法则]  在下面的公式中，假设a>0，同时所遇到的函数都假设是在定义域里讨论的.

                零与负数没有对数                   

                对数恒等式              换底公式

[常用对数与自然对数]

1o  常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作

2o  自然对数：以e=2.718281828459L为底的对数称为自然对数，记作

3o  常用对数与自然对数的关系：

式中M称为模数，

4o  常用对数首数求法：

若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1.

若真数小于1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面“0”的个数(包括小数点前的那个“0”).

对数的尾数由对数表查出.

四、平面三角函数与反三角函数

1. 角的度量与换算

[角度制与弧度制]

1o  整个圆周的的弧称为含有1度的弧，而1度的弧所对的圆心角称为1度的角.1度等于60分(记作)，1分等于60秒(记作).这种用度来度量角的方法称为角度制.

2o  把等于半径长的弧称为含有1弧度的弧，而1弧度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，这种用弧度来度量角的方法称为弧度制.

[度与弧度的换算]  弧度与度的关系是

式中q与a分别表示同一角的度数与弧度数.

度与弧度换算表Ⅰ

弧度 ( r )

度 (°)

分 ( ¢ )

秒 ( ² )

1

57.29577951

3437.746771

206264.8063

0.017453293

1

60

3600

0.0002908882

0.016666667

1

60

0.0000048481

0.000277778

0.016666667

1

.表中黑体数字为精确值.

度与弧度换算表Ⅱ

度

360°

180°

90°

60°

45°

30°

弧度

[祖率(圆周率)p]  圆的周长与直径的比值称为圆周率，用p表示.由于我国古代南朝的数学家祖冲之在计算圆周率方面取得辉煌成就，因而圆周率也常称为祖率.

祖冲之算出p的值为3.1415926