第一节 根数的加减法

① 最简单的根数相加、减：

√1、√2、√3、√5、√7……这是十以内的素数开平方，这也就最简的几个根数。

√1=1； √2≈1.41414136……；√3≈1.7320508……；

√5≈2.2360680……；√7≈2.6457513……；如若直接求开平方的根值，则是无理数，无法用分数或小数来精准地表示其根值，即根数。若如√2+√2≈1,41414136+1.41414136 ≈2.82828272；须多次用开方的近似值计算。误差难免增大。如若√2+√2=2√2=√8；就可减少近似值计算次数，减少误差值。

如√8≈2.8284171；其精确度就与2√2≈2.82828272不一样。特别是多次根数连加的计算，其误差值有可能更大。

应该说，√2是最简单的根式、根数。那么，√2、2√2、3√2……n√2；代表1个√2；2个√2相加；3个√2相加；……n个√2相加，则为n√2。这就相当于用√2乘以自然数列的每一项；其乘积也都是无理数。这就形成一个以√2为公差的等差数列。若以√3、√5、√6、√7、√8、√10……分别作为公差，乘以自然数列而形成不同等差数，那可见无理数是何其多也！研究这些无理数相互之间的加、减、乘、除，并形成一套行之有效的规则，这是多么必要；这也是数论所不可替代的。这就是类似自然数对数论而言，数论完全脱离自然数作为基础，那将“寸步难行”。

下面首先以公差为√2的等差数列为例，从最简最易的根数加减运算启步，进行根数的加减运算。

例如：√2+√2=2√2=√4×√2=√8；

那么，√2+√2+√2=3√2=√9×√2=√18；4√2=√16×√2=√32；

5√2=√25×√2=√50；6√2=√36×√2=√72……。

可见，√8-√2=√2；√18-√2=√8；√18-√8=√2；

即(√18-√2=3√2-√2=2√2=√8；√18-√8=3√2-2√2=√2)。

通过简易换算，√18+√8=√50；√50+√2=√72；√8-√2=√2；√18-√2=√8；√18-√8=√2；这些根数的加减，貌似不可能的结果，却成为合理的必然结果。

再以公差为√3的等差数列为列，看同底、同次的根式、根数的加减运算：

如√3+√3=2√3=√4×√3=√12； 3√3=√9×√3=√27；

4√3=√16×√3=√48； 5√3=√25×√3=√75； 6√3=√216；……。

又如：√216-√75=√3； √48-√3=√27； √12-√3=√3；……。

这种同底同次的根数相加减，实际上是系数相加减，关键在于将不同底的同次根数，化为同底同次的根数。然后，再根据运算的需要选择是否“将加减的结果的系数也一并化为根数”。

②异底同次根式、根数的加减法