施行特征函数   定义若C是参数 θ \theta θ某检验问题的一个检验法， β ( θ ) = P θ ( 接 受 H 0 ) \beta(\theta)=P_{\theta}(接受H_0) β(θ)=Pθ​(接受H0​),称为检验法C的施行特征函数或者OC函数，其图形称为OC曲线。   若假定检验法的显著性水平α，即犯第一类错误的概率为 P θ ∈ H 0 ≤ α ， 则 当 P_{\theta \in H_0}≤α，则当 Pθ∈H0​​≤α，则当 θ ∈ H 0 \theta \in H_0 θ∈H0​时，做出正确判断的概率为： P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta) Pθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ) ≥ 1-α；则当$ θ ∈ H 1 \theta \in H_1 θ∈H1​时，犯第二类错误的概率为 P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) = β P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta)=\beta Pθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ)=β ，做出正确判断的概率为： P θ ∈ H 1 ( 拒 绝 H 0 ) = 1 − β ( θ ) P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta) Pθ∈H1​​(拒绝H0​)=1−β(θ) 。   在检验的过程中希望α与β都尽可能小，即做出正确判断的概率 P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta) Pθ∈H0​​(接受H0​)=β(θ) ≥ 1-α与 P θ ∈ H 1 ( 拒 绝 H 0 ) = 1 − β ( θ ) P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta) Pθ∈H1​​(拒绝H0​)=1−β(θ)都越大越好，但这种期望能否达到呢？   设总体 X ∼ N ( u , σ 2 ) X\sim N(u,\sigma^2) X∼N(u,σ2),其中u未知，σ已知， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​是来自X的样本。在显示性水平α下，对u进 行左侧检验： H 0 : u ≥ u 0 H_0:u≥u_0 H0​:u≥u0​ vs H 1 : u < u 0 H_1:u − z α − u − u 0 σ / n ) = ϕ ( z α + λ ) \beta(u)=P_u(接受H_0)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α-\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n})=\phi(z_\alpha+\lambda) β(u)=Pu​(接受H0​)=Pu​(σ/n ​Xˉ−u0​​>−zα​)=Pu​(σ/n ​Xˉ−u0​​>−zα​−σ/n ​u−u0​​)=ϕ(zα​+λ) 其中， λ = u − u 0 σ / n \lambda=\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n} λ=σ/n ​u−u0​​,其OC曲线如图所示： β ( u ) \beta(u) β(u)函数性质如下：