构建指标体系时，最后为了得到指标，一般会用到主成分分析法、熵权法、变异系数法……等提炼出一个总指标。今天要分享的是熵权法的赋权逻辑、计算步骤以及Stata的实现代码。

首先引入一个标准化矩阵：包含 n 个样本和m 个评价指标的标准化矩阵：

Z=\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{31}& z_{32} & \cdots &z_{nm} \\ \end{pmatrix} \tag1

（1）信息量：

了解一个未知事物所需要查询的所有信息的总和就是信息量 I ，单位是比特。随机变量X取某个值时，其概率( p )倒数的对数( log\frac{1}{p} )就是信息量 I ，一件事物出现的概率 p 决定了它的不确定性大小，也就决定了所含信息量 I 的大小。

换言之，事物所含信息量 I 与其发生的概率 p 负相关，大概率事件，信息量少；小概率事件，信息量多。

I_i =log(\frac{1}{p_i})=-logp_i\tag2

建立信息量 I与概率 p 的函数关系，这样的函数适合用对数函数拟合，加上负号就可以表示两个对称的对数函数。

（2）信息熵：

信息熵也就是信息量的期望，假设X 表示的是一个信源，那么信息熵可以表示为：

H(X)=\sum_{i=1}^np_i\times log(\frac{1}{p_i})\tag3

总结：

熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。

一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。

假设给定了n 个样本， m 个指标： \left\{ X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{m}\right\} ，形成原始数据矩阵如下，x_{ij} 为第 i 个样本的第 j 个指标的数值：

X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{31}& x_{32} & \cdots &x_{nm} \\ \end{pmatrix}\quad （x_{ij},\quad i=1,2,...,n\quad j=1,2,...,m）

对某项指标 X_j 而言，不同样本之间指标值 x_{ij} 的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用也就越大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。

首先将各个指标进行标准化处理，不同类型的指标，需要按照不同的方式分别进行标准化:

y_{ij}= \begin{cases} \frac{x_{ij}-min(X_{j})}{max（X_{j}）-min(X_{j})},\quad if \quad X_{j}为正向指标\\ \frac{max(X_{j})-x_{ij}}{max（X_{j}）-min(X_{m})},\quad if \quad X_{j}为负向指标, \end{cases} \tag1原始指标\left\{ X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{m}\right\}转化为标准化指标 \left\{ Y_{1},Y_{2},\cdot\cdot\cdot,Y_{m}\right\} ，y_{ij} 为标准化后的第 i 个样本的第 j 个指标的数值：

X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{31}& x_{32} & \cdots &x_{nm} \\ \end{pmatrix}\quad 标准化 \Rightarrow \quad Y= \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1m} \\ y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{31}& y_{32} & \cdots &y_{nm} \\ \end{pmatrix}

计算某项指标 X_j下第 i 个样本占该指标的比重， p_{ij} 为第 i 个样本在 j 指标当中的比重值：

p_{ij}=\frac{y_{ij}}{\sum_i^n y_{ij} } ,\quad i=1,2,...,n;\quad j=1,2,...,m\tag2

计算某项指标 X_j的熵值：

E_j=-\frac{1}{ln(n)}\sum_{i=1}^np_{ij}ln(p_{ij})\tag3

其中， n 为样本数量，一般而言， 0\leq E_j\leq1

根据信息熵的计算公式，计算出各个指标的信息熵为 E_1,E_2,…,E_m

方法1：通过信息熵计算各指标的权重：

W_j=\frac{1-E_j}{m-\sum E_j }\quad (j=1,2,...,m)\tag4

方法2：通过计算信息冗余度 D_j ，然后计算指标权值：

D_j=1-E_j \quad \Rightarrow \quad W_j=\frac{D_j}{\sum D_j}\quad (j=1,2,...,m)\tag4

Score_{ij}=\sum_{j=1}^{m}{W_{j}\cdot y_{ij}}\quad (i=1,2,...n)\tag5