公式如下

公式中：θx和θy是快轴和慢轴的发散角，Gx和Gy是X和Y方向光束的超高斯因子，用来控制二极管光源能量的集中度。若Gx=Gy=1时则为理想高斯光束。αx或αy 是光束发散角大小，用来计算激光半功率远场发散全角度因子。通常二极管厂家会给出激光功率衰减至一半时的半宽角度即θFWHM，也称为半功率角。对于高斯光束，光束半径通常定义为处于峰值强度的 1/e2处对应的半径。半功率角是由高斯光束半径确定的半发散角的1.18倍。

图1 OSRAM-SPL PL903 二极管参数表及半功率角图示

一般我们在ZEMAX中使用非序列模式来模拟激光二极管光源，方法较方便快捷。而当遇到较复杂系统运用或要求较高或光路优化时，需要在序列模式下模拟出激光二极管光源，此时光源模拟就较为复杂。

上图为激光二极管在非序列模式下光源的模拟，可见到出射为椭圆形光斑。其中设置选项Astigmatism,它是像散因子，即光束在X轴方向漂移的大小，当设置此参数时，说明二极管不是理想的点发出的。

序列模式中模拟激光二极管

方法一、利用理想圆柱透镜 (Paraxial XY) 的设置，加上点光源来完成。

图3 光路示意图

步骤：1设定：光源在XZ面上的半功率角为θ∥。⊥∥

YZ面上的半功率角为θ⊥。

Astigmatism长度为t。

2. 光源在XZ面上的半功率角的发散角

YZ面上的半功率角的发散角

使用下面公式计算M（放大率）、t1、t2、φy（光焦度）：

M = tanθx / tanθy

t1 = t / (M+1)

t2 = Mt / (M+1)

φy = (M+1)^2 / Mt

3. 设定System Explorer 的Aperture型态为「Object Space NA」，并且输入数值sin(θx)。

4. 物面到第一面的距离设为t1。

5. 把第一面设为光栏面，并设定面型态为 Paraxial XY：X Power = 0、Y Power = φy。

6. 以上的设定即可表现光源的部分。X方向的发光点是在第0面，而Y方向的发光点是在第一面开始t2的位置上。

范例：设定，假设LD规格如下：

θx ＝ 5.5°

θy＝ 12.5°

t ＝ 0.1 mm

依据上述公式计算后，得到：

M ＝ 0.43

t1 = 0.0699

t2 = 0.3

φy = 47.556

在System Explorer中设定如下：

* Object Space NA = n sin(θx)=0.0958

* Apodization Type = Gaussian

* Apodization Factor = 0.3466

在Apodization Factor的地方输入0.3466，是因为这样在Aperture最边缘处，也就是NA=0.0958的位置，强度会刚好是二分之一。

讨论：

高斯光束 的剖面光强度分布：

其中，为束腰，r为光束的径向坐标，高斯光束的边缘（r=）定义为强度为中心强度的.

The amplitude at other points in the entrance pupil is given by：

G is the apodization factor and ρ is the normalized pupil coordinate.

注意，此时是振幅的表达，如变换成强度，需要振幅的平方。

现要使得apodization光线边缘为中间强度的一半（r=）。则公式计算如下：

得到G=0.3465.

在Lens Data 中最后一面至像面的距离为100，模拟远场情况。

图4 Lens Data设置

图5 远场照度图

照度分布图的Y节面 (Cross Y)。离光源100mm时，Y = 22.17mm时照度值大约降为一半。换算过来大约是θy＝ 12.5°，即θ⊥= 25°。

照度分布图的X方向(Cross X)。离光源100mm处，X = 9.6mm的照度值大约降为一半。换算过来大约是θx ＝ 5.5°，即θ∥=11°。

方法二：单纯使用Vignetting Factor来模拟。

存在很多关于发散角的定量定义： 1最常用的定义是，光束发散角为光束半径对远场轴向位置的导数，也就是与束腰的距离远大于瑞利长度。这一定义延伸出发散角概念（单位为弧度），依赖于光束半径的定义。对于高斯光束，光束半径通常定义为处于峰值强度的 1/e2处对应的半径。而非高斯形状的光束，可以采用积分公式。2除了在高斯光束中取处于 1/e2峰值强度处对应的点的角度作为发散角之外，还可以采用半高全宽（FWHM）发散角。在激光二极管和发光二极管数据表格中通常采用。高斯光束中，采用这种定义的发散角是由高斯光束半径确定的发散角的1.18倍。

举个例子，小的边发射激光二极管快轴对应的FWHM光束发散角为30°。这对应1/e2光束发散角为25.4°，很显然为了在不截断它的情况下使这一光束准直需要采用相当大数值孔径的棱镜。很大发散的光束需要采用一些光学装置以避免球面像差引起的光束质量下降。

设定 假设LD规格如下：

θ∥ ＝ 11°

θ⊥＝ 25°

高斯函数强度一半时的 “全角 (也就是2FWHM)” 与强度为1/e^2时的 “半角” 的比值之计算方法如下：

α= 0.8493218 * FWHM

因此：

X方向的1/e^2强度的发散角角为11° ×0.85 ＝ 9.35°

Y方向的1/e^2强度的发散角为25° ×0.85 ＝ 21.25°

因为Vignetting Factor是在入瞳坐标上定义的，需计算光束投影到平面上时，半径的比值：

tan(9.35°) ＝ 0.1647

tan(21.25°) ＝ 0.3889

0.1647 / 0.3889 ＝ 0.4235

因此如果在Vignetting Factor中输入VCX = 0.5765，就可以产生一个0.4235：1的椭圆形光束。

现在请在System Explorer > Aperture中输入如下的Object Space NA=sin(21.25°)=0.3624，并设定Gaussian Apodization以及Apodization Factor = 1。

在System Explorer > Field中输入如下的Vignetting Factor：

图9 视场中渐晕因子设置

在Lens Data Editor中输入如下数据。

图10 Lens Data 设置

让我们确认看看距离光源100 mm的位置的照度吧。

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