教学目的：掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其简单应用

教学重点：函数最极值、大值、最小值的判断方法和求法    

教学难点：函数最极值、大值、最小值的求法

教学内容：

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.

定理 (第一种充分条件)  设函数在点处连续, 在的某去心邻域内可导.

    (1) 若时，, 而时，, 则函数在处取得极大值;

    (2) 若时，, 而时，, 则函数在处取得极小值;

(3)如果时，不改变符号, 则函数在处没有极值.

确定极值点和极值的步骤:

    (1)求出导数;

    (2)求出的全部驻点和不可导点;

    (3)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);

    (4)确定出函数的所有极值点和极值.

例3-25 求出函数的极值

解 

  令得驻点  列表讨论

极大值

极小值

所以极大值极小值

例3-26 求函数的极值.

解  显然函数在内连续, 除外处处可导, 且

      令, 得驻点，为的不可导点;

    (3)列表判断   

-1

1

+

不可导

-

0

+

↗

0

↘

↗

所以极大值为, 极小值为.

如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有

    定理 (第二种充分条件)  设函数在点处具有二阶导数且,

, 那么

    (1)当时, 函数在处取得极大值;

    (1)当时, 函数在处取得极小值;

    证明  对情形(1), 由于, 由二阶导数的定义有

.

根据函数极限的局部保号性, 当在的足够小的去心邻域内时,

. 但, 所以上式即为.

于是对于去心邻域内的来说, 与符号相反. 因此, 当即时,; 当即时,. 根据定理2,  在处取得极大值.

类似地可以证明情形(2).

例3-27 求出函数 的极值

解

令得驻点 ，由于

由于 所以极大值

而所以极小值

函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

例3-28  求出函数的极值

解  由于 ，所以时函数的导数不存在,但当时，当时，所以为的极大值

例3-29  求函数的极值.

解  ,令f ¢(x)=0, 求得驻点,

又, 所以,

因此在处取得极小值, 极小值为.

因为, 所以用定理3无法判别. 而在处的左右邻域内, 所以在处没有极值; 同理, 在处也没有极值.

注

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.

驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得.

极值的判别法   要注意使用条件

极值与最值的关系:

函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果是函数的一个极大值, 那只是就附近的一个局部范围来说, 是的一个最大值; 如果就的整个定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.

设函数在闭区间上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.

设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为, 则比较的大小, 其中最大的便是函数在上的最大值, 最小的便是函数在上的最小值.

求最大值和最小值的步骤

(1).求驻点和不可导点;

(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;

注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)

例3-30 求函数在上的最大值和最小值

解    

由于  

因此函数在上的最大值为

最小值为

例3-31 求函数在上的最大值与最小值.

解 由于,

所以

求得在(-3, 4)内的驻点为，不可导点为

而，,

经比较在处取得最大值20, 在处取得最小值0.

实际问题求最值步骤:

(1)建立目标函数;  (2)求最值.

例3-32 工厂铁路线上AB段的距离为100km. 工厂C距A处为20km, AC垂直于AB. 为了运输需要, 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点应选在何处？

解  设, 则 , .

再设从B点到C点需要的总运费为y, 那么(是某个正数)

即.

    于是问题归结为: 在内取何值时目标函数的值最小.

    先求对的导数: .解方程得.

由于, ,, 其中以为最小, 因此当时总运费最省.

 注意:在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点, 且该驻点是函数的极值点, 那么当是极大值时, 就是该区间上的最大值; 当是极小值时,就是在该区间上的最小值.

说明： 实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数确有最大值或最小值, 和一定在定义区间内部取得. 这时如果在定义区间内部只有一个驻点, 那么不必讨论是否是极值就可断定是最大值或最小值.

例3-33 由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线所围成的三角形面积最大

解 设所求切点为 切线为PT

由于 所以

令 解得 (舍去)

又因为,所以为极大值

故为所有三角形中面积的最大者

小结

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.

注意最值与极值的区别.