到目前为止，我们讨论的都是多项式相关的函数，现在来看看三角函数的极限和导数。

求三角函数的极限，首先要看 $x$ 的大小情况。

我们知道 sin(0) = 0 ，那么当 x 趋近于 0 时， sin(x) 会如何呢？我们可以从图像上来看：

当 x 非常接近 0 时， sin(x) 表现的和 x 很像，在数学上，也确实有极限：

这个公式非常重要，这是解决很多三角函数相关微积分问题的关键所在。

对于余弦，很明显有：

而关于 tan(x) 呢，这里的关键在于它可以写成 sin(x) / cos (x) ，分子在 x \to 0 时为 x ，分母为 1，所以有：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=(1)\left(\frac{1}{1}\right)=1

即：

现在再来看 cos(x) / x 的情况，即：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{x}

直接将 x = 0 代入会得到 1 / 0 ，即无限大，但要注意符号：

\\ \lim {x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x}=\infty, \quad \lim {x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos (x)}{x}=-\infty

左右极限不相等，所以该极限不存在。

求：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}

当 x 接近 0 时， x^2 也是 0，所以这个极限最后的结果就是 1。用 tan 替换 sin 也是一样的，当然，余弦就不行了。可以记住这两个结论：

现在来看另一个例子：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{x}

这里分子中是 5x 而分母是 x ，但是没关系，可以除以 5x 再乘以 5x ，得到：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin (5 x)}{5 x} \times(5 x)}{x}

应用上面的结论或者方法，很明显最后的结果是 5。

再看一个复杂一些的例子：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{3}(2 x) \cos \left(5 x^{19}\right)}{x \tan \left(5 x^{2}\right)}

对于一个复杂的式子，可以先进行分解。首先是 \sin ^{3}(2 x) ，这其实就是 (\sin (2 x))^{3} 的另外一种写法，所以做法跟之前一样，只不过这次多了一个立方，变成：

\\ \frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \times(2 x)^{3}

再看 \cos \left(5 x^{19}\right) ，当 x \to 0 时，这很明显是 1，所以不用再做别的操作了。

分母上，有一个 x 暂且不知道该如何处理，所以先不动，而 tan(5x^2) 变成：

\\ \frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}} \times\left(5 x^{2}\right)

所以最后有：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{3}(2 x) \cos \left(5 x^{19}\right)}{x \tan \left(5 x^{2}\right)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \times(2 x)^{3}\right] \cos \left(5 x^{19}\right)}{x\left[\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}} \times\left(5 x^{2}\right)\right]}

简单整理一下就是：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \cdot \cos \left(5 x^{19}\right)}{\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}}} \times \frac{(2 x)^{3}}{x\left(5 x^{2}\right)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{\sin (2 x)}{(2 x)}\right)^{3} \cos \left(5 x^{19}\right)}{\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}}} \times \frac{8 x^{3}}{5 x^{3}}

应用上面的结论和方法，最后得到 8/5 。

下面这个就是一个稍微绕一下的例子了：

\\ \lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{5}{x}\right)

虽然这里不是求当 x \to 0 的极限，但是当 x \to \infty 时， \frac{5}{x} \to 0 ，所以这其实还是一个小数极限问题，最后结果是 5，留给读者自行计算了。

当遇到正割，余割或者余切时，最稳妥的做法是把它们转换成正弦，余弦或者正切。

有一点要特别注意，我们所说的当 x \to 0 时， x 表现得和 sin(x) 很像，是在乘积或者商的语境下说的， \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (x)}{x^{3}} 就不能用上面的方法求解，这个极限后面需要用洛必达法则或者麦克劳林级数进行求解。

最后我们再求一个后面会有用的极限：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}

这个极限的解法是：

\\ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} \times \frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)} \ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2}(x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)} \end{aligned}

sin^2(x) 可以拆成 sin(x) \times sin(x) ，又由于 sin(0) = 0 ，所以有：

\\ \lim {x \rightarrow 0}\left(\sin (x) \times \frac{\sin (x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)}\right)=0 \times 1 \times \frac{1}{1+1}=0

考虑极限：

\\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x}

当 x 非常大时，其正弦会在 1 和 -1 之间来回摇摆，所以无法直接判断，但是可以用三明治定理来求解（详见第三章），即利用三角函数最基本的性质：

不等式各个部分同时除以 x ，变成：

\\ \frac{-1}{x} \leqslant \frac{\sin (x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}

这就求出了当 x \to \infty 时， 0 \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 0 ，即：

\\ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x} = 0

再来看另一个例子：

\\ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2}}{2 x^{4}}

因为是 x \to \infty ，所以直觉告诉我们 \sin(11x^7) 可能不重要，因为最大也就是 1 了，所以分子主要就是 x 了，而分母中是 x^4 ，所以这个问题感觉上应该是 0，下面来证明一下：

还是利用三明治定理，所以首先想到的就是三角函数的性质 -1 \leqslant \sin(11x^7) \leqslant 1 ，对于所有 x > 0 来说，这个不等式可以变形为 -x-\frac{1}{2} \leqslant x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2} \leqslant x-\frac{1}{2} （注意如果 x < 0 就不是这样了），显然不等式的左右两侧分别是负无穷和正无穷，这似乎不能证明什么，所以先往下看。由于分母是大于 0 的（这是 x \to \infty 的情况），所以有：

\\ \frac{-x-\frac{1}{2}}{2 x^{4}} \leqslant \frac{x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2}}{2 x^{4}} \leqslant \frac{x-\frac{1}{2}}{2 x^{4}}

应用前面章节学到的方法，很容易就能求出 x \to \infty 不等式两侧的极限都是 0，所以这个极限就是 0。

由不等式 -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 （ \cos(x) 也可以）可以得知， \sin(x) 和 \cos(x) 可以看作次数比 x 的任意正数次幂还要低的项，但是这仅限于它用来做加减运算，乘除运算就不能这么认为了，可以写成一个结论公式，对于任意正数 \alpha ：

\\ \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(\text{任何数})}{x^\alpha} = 0

上述结论换成余弦也是一样。但是如果 x 的次数是 0，则正弦余弦就变的很重要了。

求极限：

\\ \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos (x)}{x-\frac{\pi}{2}}

这里不是大数也不是小数，如果直接代入，会得到 0 / 0 的不定式，所以遇到这种 x \to a 的极限，而且 a 不等于 0，有一个常用的方法，就是设 t = x - a ，这样极限就变成了 t \to 0时的