高中数学:奇函数、偶函数和函数奇偶性知识点总结大全 |
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一般地,除了既是奇函数又是偶函数的函数(如:y=0,x∈R)外,中学数学里常见的奇函数与偶函数的加、减、乘、除后的奇偶性,可简单地表示如下: (1)奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数,奇函数±偶函数=非奇非偶函数,偶函数±奇函数=非奇非偶函数; 【注】上面的性质特点可以简单地概括为:“同性”加减,奇偶不变;“异性”加减,非奇非偶。 (2)奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数,偶函数×奇函数=奇函数; 【注】上面的性质特点可以简单地概括为:“同”乘为“偶”,“异”乘为“奇”。 (3)奇函数÷奇函数=奇函数/奇函数=偶函数,偶函数÷偶函数=偶函数/偶函数=偶函数,奇函数÷偶函数=奇函数/偶函数=奇函数,偶函数÷奇函数=偶函数/奇函数=奇函数 【注】上面的性质特点可以简单概括为:“同”除为“偶”,“异”除为“奇”。 需要注意的是,上面的各个性质等式中,必须保证左边的两个函数的定义域的交集不是空集。因为如果两个具有奇偶性的函数的定义域的交集为空集,则不论它们二者作何种运算后的函数的定义域都是空集,不满足函数的定义域“非空”,讨论其结果的奇偶性也就毫无意义了。 【知识补充】 一、奇函数、偶函数的概念 1、奇函数:假如一个函数f(x)的定义域关于原点对称,并且对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。 2、偶函数:假如一个函数g(x)的定义域关于原点对称,并且对于定义域中的任意x都有g(-x)=g(x),则称函数g(x)为偶函数。 【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。 二、奇函数、偶函数的图像特点 1、奇函数图象关于原点对称。奇函数的图象,是个以原点为对称中心的中心对称图象。 2、偶函数图象关于y轴对称。偶函数的图象,是个以y轴为对称轴的轴对称图象。 3、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 4、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”,则一定有f(0)=0。因此,如果一个奇函数的定义域中有“0”,则这个奇函数的函数图象一定过原点。 5、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”,则g(0)不一定为0。因此,如果一个偶函数的定义域中有“0”,则这个偶函数的函数图象不一定过原点。 6、偶函数在对称区间上的值域相同,奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。 三、奇函数、偶函数的判定 假设函数f(x)、g(x)的定义域都关于原点对称。则 1、f(x)是奇函数的几个充要条件为: (1)对定义域中的任意x都有:f(-x)=-f(x); (2)对定义域中的任意x都有:f(x)+f(-x)=0; (3)对定义域中的任意x都有:f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不为0. (4)对定义域中的任意x都有:f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不为0. (5)f(x)的函数图象关于原点对称。 2、g(x)是偶函数的几个充要条件为: (1)对定义域中的任意x都有:g(-x)=g(x); (2)对定义域中的任意x都有:g(x)-g(-x)=0; (3)对定义域中的任意x都有:g(-x)/g(x)=1;【注】分母不为0. (4)对定义域中的任意x都有:g(x)/g(-x)=1;【注】分母不为0. (5)g(x)的函数图象关于y轴对称。 四、函数按奇偶性的分类 所有函数照奇偶性分类可以分成四类,分别是:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 常见的“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数”举例如下。 1、常见的奇函数 (1)次数为奇数的幂函数:y=x^(2n-1),n为整数。例:y=x,y=x^(-1)=1/x, (2)正弦函数和正切函数:y=sinx,y=tanx。 (3)设函数f(x)的定义域关于原点对称,则g(x)=[f(x)-f(-x)]/2为奇函数。 【注】因为g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。 2、常见的偶函数 (1)常函数:y=c(c为常数)。 (2)次数为偶数的幂函数:y=x^(2n),n为整数。例:y=x^2,y=x^(-2)。 (3)余弦函数及某些三角函数的变形:y=cosx,y=|sinx|,y=|cosx|,y=sin|x|。 (4)特殊的分段函数:y=|x|。 (5)设函数f(x)的定义域关于原点对称,则g(x)=[f(x)+f(-x)]/2为偶函数。 【注】因为g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。 3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数 y=0(定义域关于原点对称)。例:1、y=0,x∈R;2、y=0,x∈(-1,1)等。 【注】高中数学里,“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。 4、常见的非奇非偶函数 (1)奇函数与偶函数的和。例:y=x+1,y=x+x^2; (2)指数函数、对数函数。例:y=a^x(a>0且a≠1),y=lnx,y=lgx。 (3)某些幂函数。例:y=√x(注:y=“x的算术平方根”)。 五、复合函数的奇偶性 设复合函数u(x)=f(g(x)),定义域非空且关于原点对称,则有: (1)f(x)、g(x)都为奇函数时,u(x)=f(g(x))为奇函数。 【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。 (2)f(x)、g(x)都为偶函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。 【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。 (3)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。 【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。 (4)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。 【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)。 【注】根据上面四种复合函数的奇偶性,可以概括地得到如下结论:只有内外层的所有函数都为奇函数时,复合后的函数才为奇函数。否则,复合后的函数都是偶函数。 一线教育名师,有中小学数学的其它相关“函数奇偶性”的问题可以点击下方卡片提问以便及时获得针对性咨询。 函数周期公式总结 正方体外接球的半径公式 有理数和无理数的区别,有理数和无理数的类型总结 特别声明:以上文章内容仅代表作者本人观点,不代表新浪网观点或立场。如有关于作品内容、版权或其它问题请于作品发表后的30日内与新浪网联系。 |
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