临近开学了(，称这几天时间把近段时间的一些“研究成果”分享一波，主要是记录给自己看的，望以后仍能被自己的这份热忱所震惊(

最近看到一个有趣的视频：

Desmos连这也能画？用Desmos画动态摆线

另附上一个类似的应用视频：

圆在抛物线上滚

该视频绘制了一个圆在任意光滑曲线上滚动时，圆上一点的轨迹(摆线)，相较于圆在直线上滚动，圆在圆上滚动的两种类型而言是一波拓展！

ps:之前写过圆在直线上滚动以及圆在圆上滚动的专栏，可参考：

美丽的摆线及其数学原理

而坐标系的美妙之处在于将“数”与“形”完美地进行了融合，推导这美丽的曲线对应的解析式是极其有趣滴，于是下面对一般的光滑曲线情况的摆线方程进行推导~

繁琐公式输出警告！！！吃瓜者可以直接跳至"程序分享"部分

设光滑曲线的参数方程为：

不妨先考虑"逆转90°"时的情况

具体而就是沿着参数t增大的方向，切向量与由切点指向圆心的法向量构成右手标架(右手系)的情况

记切点为P，圆心为O₁

将切向量逆时针旋转90°得：

再将该法向量乘以一个伸缩因子，使得模长化为r(r为圆的半径)

ps:具体可分为先除以向量本身的模(伸缩至单位向量)，再乘以r，即伸缩至模长=原半径

记圆心为O₁，则有：

从而得到圆心轨迹的参数方程：

如果构成的是左手系，则将法向量方向反向即可，即

对此，我们引入一个参数来表示这里的+-号，即

当构成右手系时，c₁取1，反之则取-1

求完了圆心的轨迹方程，下面再来求摆线的方程

用回上图：

我们将法向量调转方向，即换为由圆心O₁指向切点P

当切点P由参数取t0的位置运动至参数取t1的位置时，所滚过的弧长为：

则圆上一点相对于切点转过的弧度为：

于是我们对由圆心O₁指向切点P的法向量进行旋转(以下是逆时针旋转的情况)：

旋转后的向量记作，其模长仍等于圆半径r(由于旋转不改变大小)，方向由圆心指向参考点(也即所求的摆线质点)，如下图的紫色箭头所示：

ps:注意，这是个示意图，这种情况下应该顺时针转的，不过不论是顺时针旋转还是逆时针旋转，旋转后的向量方向均由圆心指向所求点

为了区别逆时针和顺时针，于是再引入参数来表示旋转方向：

当旋转方向为逆时针时，c2取1，否则取-1

再根据三角函数的奇偶性：sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx知，sin里边的正负号可以提前，即：

于是有：

整理坐标即可得到摆线的参数方程：

其中

来个应用例子：

圆在对数函数y=lnx上滚动时的摆线

此时取的曲线参数方程为

取圆在对数函数曲线下方，构成右手系，于是c1取1；

圆顺时针旋转，于是c2取-1

圆在二次函数y=x^2上滚动时的摆线

此时取的曲线参数方程为

取圆在二次函数曲线下方，构成左手系，于是c1取-1；

圆逆时针旋转，于是c2取1

拓展，我们还可以拓展到圆上任意一点的轨迹

我们可以把向量乘以一个比例系数，则可以拓展到该条直径上的任意一点

以二次函数曲线的为例：

也可以再在旋转角的基础上加一个角，这样就能遍历圆上的所有点了。

作了以上两个修改后拓展的轨迹方程：

其中

好了，终于讲人话了...下面是笔者用desmos制作的程序，将以下链接复制到网页版即可进行调试：https://www.desmos.com/calculator/f3bndfdv8t?lang=zh-CN

玩法介绍：

打开的主页面长这个亚子：

第一个文件夹：

这个相信不难明白，就是取曲线的参数方程以及上下限以绘制出一条光滑的曲线(注意观察选取的曲线保证是光滑，否则连可导性都出问题的话后面会伴随着一堆bug)

第二个文件夹：

圆的半径不用多说，c1取决于正向切向量(指向t增大方向的切向量)与"由切点指向圆心的"法向量构成的标架，右手系则c1取+1，左手系则c1取-1

c2取决于动圆的旋转方向，逆时针则c1取+1，顺时针则c1取-1

k是用于前文提及的伸缩向量u(调动可遍历该直径上的点)

b是前文的参数β(因为desmos似乎没有希腊字母作为可调控参数所以用b替代了)，调动可遍历该圆周上的点

k和b不好解释，建议自行调试观察参考点的位置

第三个文件夹就是作图的元素了，大部分构造原理已经在前文提及，这里就不再赘述了。

放在菜单中的m是主参数，通过拖动该滑块就可以显示动画了

一、曲率和曲率半径

对于滚动的情况，有的时候会出现圆“塞不下”的情况，比如上面的在二次函数上滚动的gif中，若换成是在该抛物线内部滚动，则可能出现“越界”的情况：

那么半径r要在哪个范围才不会“越界”呢？

这时候就得用到“曲率和曲率半径”的相关知识了

由于篇幅原因，这里就只列出公式了(参数方程的形式)：

有向曲率：

有向半径：

其中

至于正负也就取决于正向切向量与指向凹侧的法向量构成的标架(右手系时为正，左手系时为负)，加个绝对值就是对应的曲率和半径

比如对于二次函数，取参数方程：，代入以上的公式得：

，当且仅当t=0时取等

这意味着滚动过程中“最弯”的地方能容下的曲率圆半径为1/2。这说明只要r