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可以和这一篇配合食用。 高数 | 复合函数等价无穷小经典错误 & 两个重要极限 & 什么情况下求极限可以直接带入_西皮呦的博客-CSDN博客 一、等价无穷小量的替换的基础知识 1.定义[1]![]() 我们都蛮喜欢用等价无穷小量的替换的,因为在记下了常见的等价无穷小量之后,这种方法我们基本不用复杂的计算。 如果用洛必达法则,我们就要算很长的时间。 2.用等价无穷小量的注意事项但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点(常出错的两点) ①被替换的量,必须是无穷小量(在取极限时为0)。 ②被替换的量,必须是作为被乘或被除的元素,不能是被加减的元素。 ③替换时必须整体替换,而不能替换局部 整体替换是什么意思呢? 其实等价无穷小量的替换,我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的 整体替换,就是要对整个求极限的式子乘1。 这一点其实是很多人不容易注意到的。 泰勒展开式: ![]() 注:这里只写x=0处的泰勒展开,仅仅是因为懒。 我们用泰勒展开式,来对函数在一点附近的函数进行近似,近似式的阶数越高,近似程度越好。 都是近似,等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢? 无穷小量的等价,不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。 等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。 仅仅从做题的角度来说,就是你能用等价无穷小量去做的题,用泰勒展开一定可以,但反过来未必。 我们用泰勒展开的方法做一下上面的例3: 我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后,这个问题的答案我们很容易得到。 为什么加减不行? 本质是因为加减可能会导致项的抵消,抵消后,根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似,但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项,对后续的近似无能为力。 那为什么乘除可以呢? 因为乘除不会消去第一项近似,你等价的那个无穷小量(即泰勒展开的第一项)总会在,在就意味着轮不到你后面的高阶近似上场。 这个时候,我不需要你分子的等价无穷小量一直等价到和分母相同。 知道为什么不能用,那什么时候能用就很简单了——我们不让相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项(等价的无穷小量)消去就可以了呗。 证明如下 举例: 摘录于 “等价无穷小量的替换”的详析 - 知乎 摘录于 【图片】y=sin1/x的总结【高等数学吧】_百度贴吧 |
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